Die grossen, bis heute wegweisenden, Entdeckungen — Transkript

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0:00:00Die Akademie der Vernunft und Baruj präsentieren die Geschichte Indiens Teil 5. Das goldene Zeitalter und die großen, bis heute wegweisenden Entdeckungen in der Mathematik. Wie in anderen antiken Zivilisationen, die wir analysieren werden, entwickelten sowohl das Kushan-Reich als auch und vielleicht vor allem das Gupta-Reich beides Protagonisten des sogenannten goldenen Zeitalters des klassischen Indien bedeutende Wissenschaft und Wissen im Allgemeinen in vielen Bereichen. Die damaligen Gelehrten hatten großes Interesse an der Astronomie. Dies wird durch die Werke indischer Mathematiker und Astronomen wie Aryabhata gezeigt, die um das 5. Jahrhundert unserer Zeit lebten. Aryabhatas Werke enthalten fortgeschrittene astronomische Konzepte, wie die Rotation der Erde und die Erklärung des Phänomens der Sonnenfinsternis. Mathematik und Astronomie waren nicht immer klar von der Religiosität getrennt.

0:01:31So dass Astronomie und Astrologie eine einzige, ungeteilte Wissenschaft waren, bis die Astrologie zur Wahrsagerei degenerierte. Was die Mathematik betrifft, kann man davon ausgehen, dass die Entdeckungen indischer Wissenschaftler des 1. Jahrtausends größtenteils die Grundlage der modernen Mathematik bildeten und über die Araber in die westliche Welt gelangten. Es lohnt sich zweifellos, über die Bedeutung der Zahlen, für die Menschen im Allgemeinen und die Zivilisationen im Besonderen nachzudenken. So trivial es heute auch erscheinen mag, unser Verständnis der Mathematik und ihre Entwicklung ist eine äußerst interessante Geschichte. Zahlen haben im Lauf der Geschichte eine entscheidende Rolle für die Zivilisationen und die Menschheit gespielt und praktisch alle Aspekte, die wir in der Welt sehen, unseres Lebens beeinflusst. Zahlen haben es den Zivilisationen ermöglicht,

0:02:53fortschrittliche Systeme der Aufzeichnung, der Schrift und der sozialen Organisation zu entwickeln. Das Konzept der Zahlen und der Arithmetik ermöglichte es, zu messen, zu planen und Ressourcen effizienter zu verwalten. Sie bilden die Grundlage der modernen Wissenschaft, Wissenschaft und Technologie. Von der mathematischen Berechnung bis zur Physik, von der Chemie bis zum Ingenieurwesen beruhen alle wissenschaftlichen Bereiche auf grundlegenden numerischen Konzepten. Zahlen sind unerlässlich, um Mengen zu messen, quantitative Beziehungen auszudrücken und komplexe Probleme zu lösen. Zahlen waren für die Entwicklung von Handel und Gewerbe von grundlegender Bedeutung. Numerische und buchhalterische Systeme haben die Berechnung von Preisen, Handelsgeschäften, Steuern und öffentlichen und privaten Finanzen ermöglicht. Aber auch in Kunst und Kultur spielen Zahlen eine wichtige Rolle. So basiert beispielsweise die Musik auf mathematischen Prinzipien,

0:04:22wie Rhythmus und Harmonie. Während Architektur und Design mathematische und geometrische Proportionen nutzen, um ästhetisch ansprechende und funktionale Werke zu schaffen. Zahlen haben auch in der Philosophie und Spiritualität vieler Zivilisationen eine wichtige Rolle gespielt. Konzepte wie die Unendlichkeit, die Einheit und die Ordnung wurden durch Mathematik und Zahlen erforscht und beeinflusst und beeinflussten die Vorstellung von der Welt und der Realität. Schon seit den Anfängen des Abenteuers des Homo sapiens versuchten die Menschen, ihre Orientierungslosigkeit gegenüber der Natur in vorhersehbaren Gesetzen und Mustern zusammenzufassen, um sie in den Griff zu bekommen. Zum Beispiel, dass der Tag zur Nacht wird, oder die Vielfalt der Formen und Farben von Flora und Fauna, oder die Zügeln von Leben und Tod. Das mathematische Denken wurde geboren, um eine Erklärung

0:05:44für die Muster der Natur zu finden. Die Grundbegriffe der Mathematik, nämlich Raum und Menge, sind den Lebewesen wahrscheinlich angeboren. Das gesamte Tierreich verfügt über einen Sinn für Entfernungen und Mengen und kann die Anzahl der ihm gegenüberstehenden Gegner abschätzen, um zu entscheiden, ob es kämpfen oder fliehen soll. Die Fähigkeit, Entfernungen und Mengen abzuschätzen, kann daher zu einer Frage von Leben und Tod werden. Ausgehend von diesen Bedürfnissen begann der Mensch, Beziehungen zwischen Mengen zu erkennen und zu zählen, was zur Entstehung eines neuen Universums führte, des mathematischen Universums. Was ist also die Zahl, die ein Mensch verstehen kann? Und was ist der Mensch, der die Zahl verstehen kann? Zwei sehr komplexe Fragen, die ein in den 1960er Jahren tätiger Neurophysiologe Warren

0:06:58zu beantworten versuchte. Was ist eine Zahl und was macht einen Menschen fähig, eine Zahl zu verstehen? Die Antwort liegt, wie so oft, in der Vergangenheit. Wie ist die Mathematik entstanden? Die Zahl auf der einen Seite und die geometrischen Figuren auf der anderen. Mit anderen Worten, die beiden grossen Bereiche der antiken Mathematik, die Arithmetik auf der einen und die Geometrie auf der anderen Seite. Um diesen Weg zu verstehen, kann es lehrreich sein, sich bestimmten Zivilisationen der Vergangenheit zuzuwenden, denen wir, in Ermangelung anderer Elemente, die Entstehung von Konzepten und Systemen zuschreiben, die wir heute Mathematik nennen. Nehmen wir ein antikes Buch, auf das wir bereits in der zweiten Begegnung hingewiesen haben. Nämlich das Totenbuch, das wir im Ägyptischen Museum in Turin bewundern können.

0:08:12In diesem Totenbuch geht es hauptsächlich darum, was die Ägypter für die Zeit nach dem Tod hielten. Aber an einer Stelle stoßen wir auf einen Satz, der in diesem Zusammenhang für uns interessant ist. Es ist eine Frage, die gestellt wird, nämlich Kannst du mir einen Mann bringen, der nicht mit den Fingern zählen kann? Die Frage im Totenbuch ist nicht fehl am Platz, denn die Ägypter waren an diesem Thema sehr interessiert. Im Urteil des Osiris gibt es einen grundlegenden Bezug zu Zahlen, denn in der ägyptischen Religionsauffassung gab es 42 Gebote, von denen zehn erst von der jüdischen und dann von der christlichen Religion übernommen wurden, die eingehalten werden mussten, um das Totenreich zu betreten. Die Richter mussten irgendwie in der Lage sein zu beurteilen,

0:09:23ob der Verstorbene würdig war, in das Reich der Toten einzugehen. Sie mussten also die 42 Gebote, zählen können, und das Buch fragt sich, ob es jemand gibt, der nicht mit den Fingern zählen kann. Wir können uns also vorstellen, dass vor 4000 Jahren, als dieses Buch geschrieben wurde, die Mathematik etwas war, das viel mit unseren Fingern zu tun hatte. Wenn wir uns heute diese Frage stellen, erscheint es uns nur allzu offensichtlich, dass wir uns vorstellen können, dass ein erhobener Finger eine Darstellung im Verhältnis zur Zahl 1 ist. Es besteht jedoch ein großer Unterschied zwischen einem Finger als etwas Konkreten und der Zahl 1 als etwas Abstrakten. Welcher Zusammenhang besteht also zwischen der Darstellung von Zahlen und den Zahlen selbst und ihrer Konzeptualisierung?

0:10:37Wir können uns vorstellen, dass der Mensch schon früh in der Geschichte der Zivilisation seine Hände nicht nur als Werkzeuge benutzt hat, die uns von den meisten anderen Lebewesen unterscheiden, sondern auch zum Zählen. Mit unseren Fingern zählen wir, indem wir 1, 2, 3, 4 und so weiter tätigen. Wir werden sehen, was dieses und so weiter bedeutet. Wenn wir mit unseren Fingern zählen, stellen wir eine Verbindung zwischen unseren Fingern und den Objekten her, die wir zählen, sprich das, was Mathematiker tausende von Jahren später eine bionivokale Verbindung nennen werden.

0:11:35Bionivizität, was so viel wie umkehrbar eindeutig bedeutet, ist ein mathematischer Begriff aus der Mengenlehre. Er beschreibt eine besondere Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen und bionivokale Abbildungen und Funktionen werden auch Biejektionen genannt. Es bedeutet, dass man allen Objekten einen Finger oder jedem Finger ein Objekt zuordnet. In der Tat ist diese Entsprechung zwischen Zahlen und Fingern sehr wichtig. Im Lateinischen wird der Finger als digit bezeichnet. Und nicht zufällig sprechen wir heute von digitalem Rechnen. Ein Rechnen, das genau mit dem Zählen mit den Fingern zu tun hat. So bleibt uns in unserer Sprache, in unseren Ausdrücken eine Art Archäologie der Vergangenheit, der Geburt der Mathematik. Das Digitale, das heute durch Computer, Internet und Smartphones zu einem Schlagwort für alles geworden ist,

0:12:54ist ein Begriff, der uns zu den frühesten Ursprüngen des Zählens zurückführt. Wir wissen, dass viele Zivilisationen uns Beweise dafür hinterlassen haben, dass sie mit ihren Fingern zählten. So gibt es zum Beispiel römische Flachreliefs, auf denen Männer zu sehen sind, die mit ihren Fingern hantieren und etwas tun, das wie digitales Zählen aussieht. Sie benutzten buchstäblich ihre Hände, ihre Finger. Dieses digitale Zählen führte die Menschheit zu ausgeklügelten Spielen wie Murra, Ungerade oder Gerade oder Stein, Papier, Schere. Es gibt sogar Methoden, die in vielen Ländern immer noch verwendet werden, auch wenn sie hierzulande zwischenzeitlich kaum bekannt sind, um mit den Fingern zu zählen. Betrachten wir ein Beispiel. Heute lernen wir, wie man mit der 1x1-Tabelle, der Multiplikationstabelle, sprich der Pythagoreischen Tabelle zählt.

0:14:15Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir 7 mit 9 multiplizieren. Wir alle wissen auswendig, dass das Ergebnis 63 ist. Wie können wir diese Multiplikation mit unseren Fingern tätigen? Eine sehr einfache Möglichkeit besteht darin, eine der Zahlen, nämlich 7, auf eine Hand zu legen und die andere Zahl, nämlich 9, auf die andere Hand. Aber wie macht man das? Da die Zahlen 7 und 9 grösser sind, als die Anzahl der Finger an jeder Hand. Wir zählen einfach 5 von jeder Zahl an beiden Händen ab, sodass an einer Hand eine 4 und an der anderen eine 2 übrig bleibt. Die 2 steht für 7, die 4 für die 9. Dann nimmt man die verbleibenden Finger, 4 auf der einen und 2 auf der anderen Seite,

0:15:19addiert sie und erhält das Ergebnis 6. Das ist die erste Ziffer des Endergebnisses. Dann betrachtet man die gekrümmten Finger der Hände. Hier ist ein gekrümmter Finger auf der ersten Hand und 3 gekrümmte Finger auf der anderen. Multiplizieren wir diese beiden Ziffern miteinander, erhalten wir 3. Dann legt man 6, die Summe der erhobenen Finger, und 3, das Produkt aus der Multiplikation der gebogenen Finger, nebeneinander und erhält 63.

0:16:01Diese Methoden werden in vielen Schulen in vielen Ländern der Welt gelehrt und sind noch ein archäologisches Erbe aus der Zeit, als die Menschen mit den Fingern zählten. Viele der Zahlensysteme, die im Laufe der Zeit verwendet wurden, haben mit der Tatsache zu tun, dass wir eine bestimmte Anzahl von Fingern haben. Wir verwenden zum Beispiel ein Dezimalsystem. Wie kommt das? Weil wir offensichtlich 10 Finger haben und es ganz natürlich ist, bis 10 zu zählen und dann wieder von vorne anzufangen. Man könnte auch bis 5 zählen und dann wieder von vorne anfangen. Tatsächlich gab es Zivilisationen, in denen das System auf der 5 basierte. Aber es gibt auch andere Systeme, die mit den Fingern zu tun haben. Wenn wir uns unsere Finger ansehen,

0:17:01haben wir alle 3 Fingerglieder an jedem Finger. Man kann sich also vorstellen, die Fingerglieder mit dem Daumen zu zählen. Und wenn man dann 4 Finger und 3 Fingerglieder an jedem Finger zählt, erhält man ein 12-Zahlensystem. Ein Sechsagesimalsystem. Da in einer solchen Hypothese nur eine Hand benutzt wird, um mit dem Daumen derselben Hand bis 12 zu zählen, kann die andere Hand benutzt werden, um aufzuzählen, wie oft man bis 12 oder Teile davon gezählt hat. Daraus folgt, dass die Multiplikation von 12 Zahlen auf der einen Hand mit 5 auf der anderen ein Produkt von 60 ergibt, was uns eben zu einem Sechsagesimalsystem führt. Dieses System wird von den grossen Zivilisationen der Vergangenheit verwendet. Das Sechsagesimalsystem wurde z.B. von den sumerischen

0:18:13und babylonischen Zivilisationen übernommen. Es gibt noch andere Systeme, andere Grundlagen oder Basen, die in der Mathematik verwendet werden und auch darüber werden wir später sprechen. Ein ziemlich natürliches System und wir haben es bereits erwähnt, als wir über digitales Rechnen sprachen, war eine Basis, die nur 2 Zahlen verwendete. Die 1 und die 2. Oder die 0 und die 1. Aber wir haben noch nicht über die 0 gesprochen. Die 0 war eine unglaubliche Errungenschaft, denn wenn wir mit unseren Händen, mit unseren Fingern rechnen, denken wir nicht an sie. Wir könnten unsere Hände zu 2 Fäusten ballen, um das Fehlen einer Zahl anzuzeigen. Aber die Vorstellung der 0 ist, wie wir sehen werden, viel komplexer als das einfache

0:19:26und intuitive Fehlen von Fingern, um sie darzustellen. Heute halten wir das, was uns in der Schule beigebracht wird, für selbstverständlich, für gewiss. In Wirklichkeit ist es das Produkt einer sehr langen und vielschichtigen intellektuellen Arbeit vieler Zivilisationen. Das Zählen mit den Fingern ist sicherlich einer der Wege, auf denen die Mathematik, in die Geschichte unserer Kultur eingegangen ist. Und es hat natürlich viele Vorteile. Wir haben unsere Finger immer dabei. Aber es hat auch Nachteile. Denn in dem Moment, in dem wir diese Berechnungen durchgeführt haben und zu anderen Berechnungen übergehen, oder in dem Moment, in dem wir uns nach einer Berechnung für andere Dinge interessieren, verschwinden die Aufzeichnungen, über diese Berechnungen.

0:20:34Die Finger sind noch da. Das Resultat möglicherweise aus unserem Gedächtnis verschwunden. An einem bestimmten Punkt in der Geschichte der Zivilisation entstand also die Notwendigkeit, die Ergebnisse der durchgeführten Berechnungen festzuhalten. Wir erinnern uns, dass wir gesagt haben, dass das Zählen mit den Fingern bedeutet, eine univoque Entsprechung zwischen den Fingern, der Hände einerseits und den zu zählenden Objekten andererseits herzustellen. Wie kann also das Ergebnis einer Berechnung aufgezeichnet werden? Seit früherster Zeit hat der Mensch das Bedürfnis verspürt, seine Berechnungen aufzuzeichnen und er hat dies mit den ihm zur Verfügung stehenden Gegenständen getan. Sprich mit Holz, Knochen oder Steinen, in die er Ritzungen machte. Eines der ältesten Zeugnisse menschlichen Rechens ist der Ischango-Knochen. Es handelt sich um das Wadenbein

0:21:50eines Pavians, der etwa 30.000 Jahre alt ist und auf dem Zeichen eingraviert sind, welche die ursprüngliche Schrift einer mathematischen Operation darstellen. Neben den Gravuren, war eine weit verbreitete Methode zum Festhalten von Zahlen, jene Knoten in ein Seil zu binden, die unterschiedliche Größen haben konnten, um verschiedene Werte anzuzeigen. Die Inka-Zivilisation zum Beispiel entwickelte ein hoch entwickeltes Instrument aus geknüpften, verschiedenfarbigen Schnüren, das Kipu genannt wurde. Ein wahres Archiv, das für die Buchführung, aber auch für die Verfolgung von Waren oder Übermittlung von Nachrichten verwendet wurde. Die weite Verbreitung des Zellsystems mit Knoten wird noch heute durch den Gebrauch des Rosenkranzes verzeugt. Dieser Andachtsgegenstand, der den Gläubigen beim Zählen der Gebete hilft, besteht aus einer Schnur, in der sich anstelle von Knoten

0:23:15Perlen mit unterschiedlichen Zahlen je nach Religion befinden. 50 des traditionellen katholischen Rosenkranzes, 99 wie die Namen Allahs im Muslimischen, 108 wie die göttlichen Bezeichnungen in der buddhistischen Mala. Finger, Rillen oder Kerben, Knoten und Rosenkranzperlen. Wir haben viele Arten der Zahlendarstellung gesehen, aber die grundlegendste, die wir zum Rechnen brauchen, fehlt uns. Woher kommt das Wort Kalkül? Das Wort Kalkül stammt vom lateinischen Wort calculare ab. Was zählen, rechnen oder berechnen bedeutet. Das lateinische Wort leitet sich wiederum vom Substantiv Calculus ab, das Stein oder Kiesel bedeutet. Calculus ist also ein Stein, ein Kiesel. Aber warum hat das Wort Kalkül, das so grundlegend für die Mathematik ist, etwas mit Steinen zu tun? Weil Steine eine der natürlichsten Formen des Zählens und Rechnens sind.

0:24:41Lasst uns ein Beispiel betrachten. Nehmen wir an, wir wollen eine Schafhärte zählen. Wie kann man Schafe zählen? Es ist ein relativ einfaches Verfahren. Jedes Mal, wenn ein Schaf vorbeigeht, einen Stein dafür zu legen. Und am Ende, wenn die ganze Härte vorbeigegangen ist, wird die Härte auf ikonische Weise durch diesen Steinhaufen dargestellt. Das Zählen mittels Steine oder Kieseln steht eigentlich ganz am Anfang des mathematischen Prozesses, ganz am Anfang der Entwicklung der Mathematik. So sehr, dass wir heute noch von Kalkulation sprechen, wenn wir numerische Berechnungen meinen. Es hat jedoch lange gedauert, bis man zu etwas kam, das dem Rechnen im Sinne des Setzens von Steinen zum Zählen entsprach und dennoch ein historisches Gedächtnis hatte. Dies geschah in der Wiege der Zivilisation

0:25:49zwischen den Flüssen Tigris und Euphrat. In jenem halbmondförmigen Stück Land, von dem wir zu wissen glauben, dass dort alles Zivilisatorische entstanden ist. Genauer gesagt an einem Ort namens Elham. El ist ein Wort, das in den Sprachen des Nahen Ostens für Göttlichkeit steht. Man denke zum Beispiel an Begriffe wie Elohim in der Bibel. Elham bedeutet also Land Gottes, göttliches Land. Das elhamitische Königreich war ein Landstreifen am Arabischen Golf auf der Seite des heutigen Iran. Von den Steinen, die im Altertum zum Rechnen verwendet wurden, sind viele in diesem Gebiet gefunden worden. Diese stammen aus Jahrtausenden vor unserer Zeitrechnung, sprich aus dem 9. bis 2. Jahrtausend vor Christus. Wir betrachten eine sehr alte Tradition. Wie wurden diese Steine gefunden?

0:26:57Wie verstehen Archäologen, dass ein Stein Zahlen anzeigt? Das Interessante dabei ist, dass diese Steine die eine bestimmte Menge anzeigen sollten, zunächst einmal aufgrund des zu bestimmenden Wertes anders dargestellt wurden. Denn wenn wir 10 Schafe haben, ist es kein Problem 10 Steine zu finden. Aber wenn wir 1000 Schafe haben, müssen wir 1000 Steine finden. Und dann wird es kompliziert. Man hat also schon sehr früh erkannt, dass man Steine unterschiedlicher Volumen oder unterschiedlicher Form verwenden kann, um Fünfer, Zehner oder Hunderter zu quantifizieren. Und das bedeutet, dass diese Steine von Menschen bearbeitet wurden. Man konnte z.B. runde Steine für die Einheiten verwenden und dann an einem bestimmten Punkt, z.B. bei der 10, einen Kieselstein der gleichen Form, aber größer verwenden.

0:28:08Genau wie man es beim Rosenkranz macht. Es sind Steine in den verschiedensten Formen überliefert. Es gibt kugelförmige Steine, zylindrische Steine, andere dreieckig usw. Früher oder später begannen sich die Formen jedoch zu wiederholen. Also griff man zu Tricks. So wurde z.B. ein Loch in einem kugelförmigen oder ein Loch in einem kegelförmigen Stein getätigt, um anzuzeigen, dass es sich um einen höheren Wert handelte oder um eine höhere Einheit. Ein durchbohrter Stein ist vielleicht das Zehnfache dessen Wert, was ein ganzer Stein wert war.

0:28:58Aber wenn man eine Herde an eine andere Person verkaufte und sie dem Hirten anvertraute, der sie an den Empfänger weitergeben sollte, wie konnte man sicher sein, dass der Hirte nicht vielleicht einen Teil der Herde stahl? Es wurde ein ausgeklügeltes System gefunden, das darin bestand, in eine Tonmasse die Menge an Steinen einzubringen, die nach den eben beschriebenen Kriterien der Anzahl der Tiere entsprach, aus denen die Herde bestand. Die Tonkugel wurde dann in der Sonne oder in einem Brennofen gebrannt und dem Hirten übergeben, der verpflichtet war, bei der Übergabe der Herde an den neuen Besitzer, diesem auch die Tonkugel mit den Steinen zu übergeben, die der Anzahl der überbrachten Tiere entsprachen. Der neue Besitzer zerbrach die Tonkugel

0:30:06und konnte durch Zählen der darin enthaltenen Steine leicht überprüfen, ob die Zahl der abgegebenen Tiere mit der Zahl der ausgesandten Tiere übereinstimmte. An einem bestimmten Punkt entdeckten die Elamiten etwas, das im Nachhinein vielleicht als Trivialität erscheinen mag, für die Menschen aber ein Riesenschritt war. Sie kamen auf die Idee, dass diese Tonkugel bei jeder Benutzung zerbrochen werden musste, weil man logischerweise nicht wissen konnte, was sich darin befand. Jemand kam jedoch auf die Idee, den Inhalt der Tonkugeln durch eingravierte Zeichen auf der Hülle zu kennzeichnen. Wenn sie zum Beispiel drei runde Steine enthielt, wurden drei kleine Kreise in die Hülle eingraviert. Wenn sie fünf Zylinder enthielt, wurden fünf Zylinder in die Hülle eingraviert. Und so weiter. Diese Innovation war aus mehreren Gründen revolutionär.

0:31:19Wenn der Empfänger der Ware nicht sicher war, dass er die richtige Menge erhalten hatte, konnte er die Buhl aufbrechen und mit Hilfe der Steine in ihrem Inneren die Richtigkeit der gesendeten Menge überprüfen. Andernfalls konnte er einfach auf das schauen, was auf der Oberfläche eingraviert war, und das reichte. Die Entwicklung solcher Gravuren führte zu der Frage, warum es notwendig war, die Steine in eine Tonkugel zu legen, und warum es nicht ausreichte, nur die Zeichen zu gravieren, die genau dieselbe Funktion hatten. Zu einem bestimmten Zeitpunkt in der Geschichte, etwa 3400 bis 3300 vor unserer Zeitrechnung, entdeckte man in den archäologischen Schichten, dass die Tonkugeln, die zuvor einfach mit Steinen verschiedener Art gefüllt waren, und dann mit Steinen und Gravuren auf ihrer Hülle,

0:32:22mit Steinen und Gravuren auf ihrer Hülle wurden, irgendwann plötzlich verschwanden und durch Tontafeln ersetzt wurden, auf denen Zeichen eingraviert waren, die das darstellten, was einst in die Tonkugeln gelegt wurde. Man erkannte also, dass man sowohl die tönernen Tonkugeln mit den Steinen als auch die Zeichen auf der Hülle überflüssig machen konnte, indem man die Informationen auf Tontafeln übertrug. Vielleicht genau dasselbe Kriterium, das man mit dem Geld angewandt wird. Es braucht nämlich keinen materiellen Wert, zum Beispiel eine Gold- oder Silbermünze, um eine Transaktion durchzuführen, sondern ein Zertifikat, zum Beispiel eine Banknote, die von uns üblicherweise für den darauf angegebenen Wert akzeptiert wird. An die Stelle der Tonkugeln treten, wie gesagt, die Tontafeln, die allerdings nicht mehr die Steine enthalten,

0:33:32sondern nur noch die Zeichen. Der Vorteil ist beträchtlich, da auf den Tontafeln mit den Zeichen nicht nur die Menge einer einzelnen Waren angegeben werden kann, sondern bei der Umladung von Waren verschiedener Art regelrechte Beschreibungslisten der transportierten Güter. Auf den Tafeln werden Zeichen eingraviert, die den Zahlen entsprechen und daneben werden Piktogramme angefertigt, die den verschiedenen Arten von Waren entsprechen. Diese piktografischen Zeichen stellen den Beginn der Schrift dar. Zuerst kam die Mathematik, dann kamen piktografische Darstellungen dessen, was die Mathematik zählte. Und an einem bestimmten Punkt sehen wir, dass wir innerhalb weniger Jahrzehnte eine Entwicklung, die ein oder zwei Jahrhunderte dauerte, von dem alten System der Tonkugeln zu Tontafeln übergehen, auf denen kurz darauf die Zahlen verschwinden und nur noch piktografische Zeichen eingraviert werden.

0:34:49Die Menschheit lernte zu schreiben. Dieser Prozess diente der Wahrscheinlichkeit vor 5'000 Jahren statt, bringt als Nebenprodukt der numerischen Notation eine neue und grundlegende Sprache für die Menschheit hervor. Noch heute verwenden wir den Begriff Lieferschein, um ein Dokument zu definieren, das Waren von einem Ort zum anderen begleitet und dieser Begriff hat seinen Ursprung in der Archäologie der Mathematik. Diese eben beschriebene Sprache wird auch von den Sumerern sofort übernommen oder vielleicht unabhängig davon entwickelt. Aber die Sumerer werden einige bedeutende Fortschritte entwickeln. Sie werden ein Zahlensystem verwenden, das ein Sechsagesimalsystem ist, sprich ein System, das auf 60 Zahlen gründet. Wir haben vorhin gesehen, wie die Idee der 60 aus den 12 Fingergliedern der 4 Fingern der einen Hand entstanden sein könnte,

0:36:04die mit dem Daumen derselben Hand gezählt und mit den 5 Fingern der anderen Hand multipliziert wurden. Dies mag uns seltsam erscheinen und für viele von uns nicht immer natürlich oder unmittelbar intuitiv sein. Doch selbst von diesem System, gibt es archäologische Spuren, die bis heute erhalten und geblieben sind. Wenn wir alle Winkelgrade eines Vierecks zusammenzählen, erhalten wir 360 Grad, also ein Vielfaches von 60. Fast jeder hat eine Uhr, mit der wir 60 Minuten in einer Stunde und 60 Sekunden in einer Minute zählen. Und all dies ist wiederum eine historische Erinnerung daran, dass es Völker gab, die ein System erfanden, das sie uns hinterlassen haben. Vor etwa 3800 Jahren kontrollierten die Babylonier ein Gebiet, das zwischen den Grenzen des heutigen Iran,

0:37:19Irak und Syrien lag. Die Verwaltung eines so großen Reiches war ohne ein ausgeklügeltes System zur Verwaltung von Kalkulationen und Zahlen undenkbar. Diese Fähigkeit wurde in den Schulen kultiviert, in denen angehende Scribas, sprich Schreiber, von klein auf lesen, schreiben und rechnen lernten. Als Medium benutzten sie Tontafeln, auf die sie die berühmten Keilschriftzeichen schrieben. Die Babylonier waren vor allem daran interessiert, praktische Probleme zu lösen, wie zum Beispiel die Berechnung von Gewichten oder das Abmessen von Mengen. Diese Probleme und ihre Lösungen wurden in genau definierten Verfahren eingeteilt, die von den Schreibern einfach erlernt und angewandt werden mussten. Es ist bekannt, dass in der babylonischen Gesellschaft ein auf 60 Zahlen basierendes System in Kraft war. Die Zahl 60 hat beim Zählen unbestreitbare Vorteile,

0:38:43da sie sich auf viele Arten teilen lässt. 60 Steine können zum Beispiel in zwei Reihen von 30, 3 von 20, 4 von 15, 5 von 12 oder 6 von 10 verteilt werden. Dennoch waren es die Babylonier, die das System zur Messung von Winkeln erfanden. Ein Winkel wird mit 360 Grad eingeteilt. Jeder Grad ist in 60 Minuten und jede Minute in 60 Sekunden unterteilt. Diese Unterteilung stand in perfekter Beziehung zu ihrem numerischen System und war auch für astronomische Berechnungen gut geeignet. Der wichtigste Aspekt ihres Wissens ist jedoch das Konzept des Wertes einer Zahl im Verhältnis zu ihrer Zahl. Die Zahl der Position sprich das Stellenwerbsystem oder Positionssystem. Stellen wir uns eine Tabelle mit vier Feldern vor.

0:39:54Man bedenke, dass in den semitischen Sprachen wie Hebräisch, Arabisch und in fernen Zeiten Punisch und Aramäisch von rechts nach links geschrieben wird, weil die Wörter anfangs mit Hammer und Meisel in Stein gemeißelt wurden. Das macht es viel einfacher die Wörter von rechts nach links zu schreiben. Also kehren wir zurück zu unserer Tabelle. In das Feld ganz rechts also schreibt man die Einheiten. In das nächste Feld links der Zehner, in das dritte Feld links der Hunderter, in das vierte Feld links der Tausender und so weiter. Auf diese Weise mussten Sie nicht auf neue Symbole zurückgreifen, um immer größere Zahlen anzugeben, was die Durchführung von Berechnungen erheblich erleichterte. Die Faszination, welche die Babylonier von Zahlen hatten, zeigt sich auch in ihren Spielen.

0:41:01So waren Spiele mit Steinen sehr beliebt, bei denen man schnelle Berechnungen mit dem Kopf durchführen musste, um den Gegner auszutricksen. Das berühmte Backgammon, das heute in allen Breitengraden gespielt wird, geht auf eine Version zurück, die von den Babyloniern vor etwa 5000 Jahren erfunden wurde. Da wir alle mit dem römischen Zahlensystem vertraut sind, werden wir Beispiele auf der Grundlage dieses Systems anführen, obwohl in Wirklichkeit die alten Systeme vieler Völker, z.B. der Ägypter, der Inkas usw. von der gleichen Art sind. Sie werden additive Systeme genannt, weil sie einfach die Addition verwenden, um eine Zahl darzustellen. Wenn wir z.B. die Zahl 4 in römischen Ziffern schreiben wollen, wissen wir, wie das geht. Wir machen 4 Kerben und das war's dann.

0:42:06Die Kerbe steht für 1, man wiederholt 1, um eine Einheit hinzuzufügen. Aber das ist äusserst unbequem. Wenn man anfängt, diese Schreibweise zu verwenden, stellt man sofort fest, dass man bei einer Zahl wie 10 und das ist genau das, was die 10 Finger unserer Hände anzeigen, zu etwas anderem übergehen muss. Das ursprüngliche römische System hatte nämlich Symbole für 1, für 5, für 10, für 50, für 100, für 500, für 1000 usw. Die wesentliche Einschränkung dieses Systems besteht jedoch darin, dass je grösser die Zahlen sind, desto mehr Symbole benötigt werden. Und da die Zahlenfolge unendlich ist, werden auch unendlich viele Symbole benötigt. Die Römer hatten genau solche Symbole. Das Zeichen X stand für 10, das Zeichen C für 100,

0:43:12das Zeichen M für 1000 usw. Aber selbst das ist ein wenig artikuliert. Also benutzten die Römer Abkürzungen. Bei der 5 machten sie statt 5 Strichen zwei Kerben in einem V. Die 6 war ein V plus eine Kerbe usw. Die 50 wurde mit einem L gekennzeichnet, die 500 mit einem D. Additive Systeme sind jedoch – wir wiederholen – sehr umständlich, weil sie, wie gesagt, eine grosse Anzahl von Symbolen erfordern. Der grosse Schritt für die Menschheit liegt in der Entdeckung einer Positionsmethode, bei deren die Verweise auf die Potenzen der Basis entfernt werden können. So, dass es nicht notwendig ist, unendlich viele verschiedene Symbole zu haben. Es reicht aus, die Potenzen der Basis durch die Reihenfolge, in der sie geschrieben werden, darzustellen.

0:44:25Das System hatte jedoch immer noch ein Problem, denn obwohl die Babylonier verstanden, dass es notwendig war, eine Stelle leer zu lassen, wenn es keine Ziffern gab, die der Reihenfolge dieser Stelle entsprachen, kamen sie nie dazu, ein hierfür stehendes Symbol zu schreiben. Wenn sie zum Beispiel 900 schreiben wollten, mussten sie zwei Felder rechts davon leer lassen, und das konnten sie nicht, denn es gab keinen Hinweis darauf, dass es sich bei der 9 nicht um eine einzelne Zahl handelte, sondern um etwas, das zwei Leerstellen enthielt. Die Babylonier konnten etwas wie 909 schreiben, weil die Zehner fehlten, also schrieben sie eine 9, die den Hunderten entsprach, ließen einen Platz leer und schrieben dann eine 9, die den Einheiten entsprach.

0:45:30Dazwischen blieb ein Loch und dann konnte man die Löcher tatsächlich stehen lassen.

0:45:38Dieses System ist jedoch nicht abgeschlossen, sprich nicht perfekt. Zunächst einmal hat es, wie gesagt, Nullen am Ende der Zahlenreihe verhindert, oder nicht zugelassen, so dass man nicht wusste, ob die Zahl am Ende fertig war oder ob es Löcher gab, weil man nicht feststellen konnte, wie viele es sein könnten. Es gab also Probleme mit dieser Schreibweise, die zwar positionell war, die bereits die Schreibart war, die wir später verwenden würden, aber letztendlich war es eine Bezeichnungsweise, die viele Zweideutigkeiten zuließ. Erst im zweiten Jahrhundert erkannte Ptolemäus, der große Astronom, dass es vielleicht besser wäre, einen Kreis zu machen, um das Leerfeld anzuzeigen. Erst in unserer Zeit fand man im Nahen Osten ein Symbol für die Null, aber nur zwischen anderen Ziffern

0:46:47und nie ganz unten und vor allem nie allein als ganze Zahl. Dies ist ein gewaltiger Schritt, den die indische Zivilisation des Gupta-Königreiches später vollzog und das System perfekt machte. Das alte Ägypten hingegen war Schauplatz einer der ersten grundlegenden Entwicklungen in der Mathematik. Vor etwa 8000 Jahren fanden alte Nomadenstämme an den Ufern des Nils ideale Bedingungen für den Ackerbau vor. Die Überschwemmungen des Nils machten das Land an seinen Ufern nämlich besonders fruchtbar. Um dieses wichtige Ereignis vorherzusagen, zählten die Ägypter die Tage zwischen einer Flut und der nächsten und legten so die Struktur ihres Kalenders fest. Bei Überschwemmungen gingen jedoch auch die den Ackerbauern zugewiesenen Grenzen verloren. Daher war es für die Pharaonik, der Verwalter sehr wichtig,

0:47:59diese wiederherstellen zu können. Die Entdeckung von Mathematik und Geometrie ging also mit den Bedürfnissen der Bürokratie einher. Das Wissen um die Messung von Oberflächen ermöglichte es, die richtigen Besitzflächen neu zu definieren, um die richtigen Steuern zu berechnen. Das System zur Längenmessung bezog sich auf Körperteile und hatte als Grundlage die Elle, sprich die Länge des Unterarms vom Ellenbogen bis zu den Fingerspitzen. Die Elle setzte sich aus sieben Handbreiten zusammen, während eine Handbreite aus vier Fingern bestand. Die ägyptische Elle war ein Längenmaß, das ungefähr 52,5 cm entsprach. Diese Maßeinheit wurde später, auch mit leichten Abweichungen, sowohl von der griechischen als auch von der römischen Kultur übernommen und gelangte praktisch unverändert bis ins Mittelalter, wo sie in ganz Europa

0:49:18als Maßeinheit für den Bau und den Handel verwendet wurde. Aber auch in der arabischen Kultur sowie in den asiatischen und afrikanischen Kulturen fanden Elle und Handbreite ihren Weg. Sind zwar weltweit standardisierte Maßeinheiten wie der Meta vorherrschend, doch in einigen Gemeinschaften und traditionellen Zusammenhängen werden Elle und Handbreite noch immer als ungefähre Maßeinheiten verwendet. Im alten Ägypten wurde als Maßeinheit für Land ein Streifen Land von der Größe einer Elle mal 100 Ellen verwendet, was etwa 327 Quadratmetern entspricht. Die Landvermesser des Pharaos mussten oft unregelmäßige Landflächen vermessen, um die Notwendigkeit immer komplexere Berechnungen anzustellen, machte sie zu den ersten Mathematikern und Geometern der Geschichte. Wie haben die Ägypten die Schrift der Zahlen angegeben? Sie entwickelten in Analogie zu ihrer

0:50:42Hieroglyphenschrift ein völlig anderes System als beispielsweise die Elhamiten oder Sumerer. Sie verwendeten keine Berechnungen im Sinne von Steinen, sondern Zeichen, deren Ursprung noch nicht eindeutig geklärt ist. Möglicherweise bezeichneten diese Zeichen Gegenstände, in einigen Thesen wird behauptet, dass sie einen Gegenstand bezeichneten, zum Beispiel die Lotusblume, der eine phonetische Ähnlichkeit mit dem Begriff für die dargestellte Zahl haben soll. Die Zahl 1 wird wie in fast allen Kulturen mit einem senkrechten Stab dargestellt, sprich in Anlehnung an den bereits erwähnten Begriff der bijektiven Funktion. Die Zahl 10 wurde durch eine Art Hufeisen dargestellt. Im alten Ägypten war das Pferd ursprünglich nicht als einheimische Tierart vertreten. Die alten Ägypter setzten zunächst hauptsächlich Esel als Arbeitstransport und in einigen Fällen auch als

0:52:04Kampftiere ein. Es ist jedoch wichtig zu wissen, dass Pferde im zweiten Jahrtausend vor Christus von benachbarten Völkern wie den Nubiern und Asiaten in Ägypten eingeführt wurden. Die Verwendung von Pferden in Ägypten wurde während des Neuen Reichs ca. 1550 bis 1070 vor Christus häufiger, insbesondere nach Kontakten mit nahöstlichen Mächten. In dieser Zeit wurden Pferde hauptsächlich als Zugtiere und in geringem Maße als Satteltiere eingesetzt. Esel waren jedoch noch weit verbreitet und wurden bei vielen alltäglichen Tätigkeiten eingesetzt. Außerdem war zur Zeit der Einführung des hufeisenähnlichen Symbols der Beschlag von Pferden noch unbekannt. Daher wird angenommen, dass das Hufeisen wie auch das nächste Symbol, das stattdessen eine Spirale für die Zahl 100 ist, einfach eine ikonografische Darstellung der Tatsache

0:53:24war, dass eine Schnur, an der man zieht, das Analogon der Zahl 1 ist. Wenn man sie biegt, ist sie das Analogon der Zahl 10 und wenn man sie dann rollt, ist sie das Analogon der Zahl 100. Diese Hypothese ist durchaus vorstellbar, aber die folgenden Symbole sind es nicht. Sie sind, wie wir bereits gesagt haben, eine Lotusblume in einem gebogenen Finger und das Symbol für die Million ist sehr interessant, weil es ein Mann ist, der seine Arme in den Himmel hebt. Als ob er himmlische Erfurt vor diesen riesigen Zahlen auszudrücken wollte. Eine weitere interessante Sache über die Ägypter ist, dass sie, abgesehen von der Geometrie, über die wir bei der nächsten Begegnung sprechen werden, in der

0:54:24Arithmetik eine ganz besondere Art hatten, Berechnungen durchzuführen. Zunächst einmal rechneten sie mit ganzen Zahlen, z.B. mit Multiplikationen auf eine Weise, die dem System entspricht, das heute von Computern verwendet wird. Sie rechneten auf Basis 2, auch wenn sie ein Dezimalsystem hatten. Im ägyptischen System stand ein horizontaler Strich für den Wert 1 und ein Punkt für den Wert 10. Um grössere Zahlen darzustellen, kombinierte man also horizontale Linien und Punkte. Zum Beispiel wurde die 1 mit einem horizontalen Strich dargestellt.

0:55:142 wurde mit 2 horizontalen Linien dargestellt. 3 mit 3 horizontalen Linien. 10 wurde mit einem Punkt dargestellt. 11 wurde mit einem Punkt über eine horizontale Linie hergestellt. 12 mit einem Punkt über 2 horizontalen Linien. 13 mit einem Punkt über 3 horizontalen Linien. Und so weiter. Dieses System war jedoch nicht so ausgereift und bequem wie das heutige Dezimale Positionssystem. Die Komplexität des ägyptischen Systems nahm mit größeren Zahlen zu und machte komplexe Berechnungen schwierig. Obwohl wir das Dezimalsystem verwenden, rechnen unsere Computer im ägyptischen Binärsystem. Wir haben noch nicht über die Namen der Zahlen gesprochen. Wie benennen wir Zahlen? Warum sollten wir sie zum Beispiel 1, 2, 3 und so weiter nennen? Warum wurden sie am Anfang so genannt, wie sie genannt wurden?

0:56:37Vor allem bestand das Bedürfnis, den Zahlen Namen zu geben, die man sich leicht merken konnte. Nachdem man sich darauf geeinigt hatte, mit den Fingern zu zählen, hatte man die Zahl 1, Daumen, Zeige, Mittelring oder kleinen Finger nennen können. So wurde es in vielen Zivilisationen gemacht. Der Name der Zahl 1 war Daumen, der Name der Zahl 2 war Zeigefinger und so weiter. Bei den Zahlen nach 5 gab es viele Möglichkeiten. So konnte man zum Beispiel den rechten Daumen für die 1 und den linken Daumen für die 6 verwenden. Aber dieses System wurde nach und nach immer komplizierter und weniger leicht sich zu merken. In einigen Zivilisationen zog man es vor, bis zur 5 zu zählen und die 5 als Hand zu bezeichnen.

0:57:43Aber das sind nur in Anführungszeichen Konventionen und es gibt viele verschiedene davon. Am naheliegendsten war es jedoch, sich auf Körperteile, zu beziehen, weil diese unveränderlich sind. Es gibt Hinweise darauf, dass diese Körperteile auch zum Zählen sehr großen Zahlen verwendet wurden. Wir haben normalerweise 10 Finger an unseren Händen, aber wir haben auch Füße. Wir können Zehen zählen, wir können Fingerglieder zählen, wir können Fäuste zählen. Körperteile zum Beispiel Unterarme und Schultern. Ohren. Und so ging es weiter, bis wir sogar hunderte von Zahlen durch hunderte von Namen bezeichnet haben. Es gab jedoch einen Moment in der Geschichte, in dem sich die Dinge änderten, weil etwas aufkam, das noch stabiler und unmittelbarer als Referenz für Zahlen wurde. Es war das Alphabet, das von den Phöniziern um 1500 vor unserer Zeitrechnung erfunden wurde.

0:59:01Vor rund dreieinhalb tausend Jahren wurde das Alphabet, wie wir es kennen, bestehend aus 22 Buchstaben im Mittelmeerraum und im Nahen Osten erstmals zu eigen gemacht. Viele Völker der Welt, auch die weit vom Mittelmeer entfernt waren, verinnerlichten diesen Kern des phönizischen Alphabets innerhalb weniger Jahrhunderte, also ziemlich schnell. Gerade weil dieses Alphabet so universell und dann als Bezugspunkt so stabil wurde, ist es ganz natürlich, dass jemand auf die Idee kam, Zahlen durch die Buchstaben des Alphabets darstellen zu können. Wir sind an diese Tatsache gewöhnt, denn das römische System, die römischen Zahlen, sind ein System, das im Wesentlichen Buchstaben des Alphabets zur Darstellung von Zahlen enthält. Es gibt jedoch noch andere Völker, die das Alphabet direkt zur Benennung von Zahlen verwendet haben,

1:00:14und zwar zunächst die Griechen und später die Juden. Dabei gibt es jedoch ein Problem. Das Problem ist, dass das griechische und das hebräische Alphabet zu wenige Buchstaben haben. Wir haben erwähnt, dass die Phönizier 22 Buchstaben hatten, die Griechen 24, aber die Griechen 24 Buchstaben. Aber 24 ist eine schlechte Zahl, weil sie nicht durch 9 teilbar ist. So ist 24 ein Vielfaches von 8, aber nicht von 9. Die Neunerprobe ist eine arithmetische Eigenschaft, die die Teilbarkeit ganzer Zahlen durch 9 betrifft. Die Regel besagt, dass, wenn die Summe der Ziffern eine ganze Zahl durch 9 teilbar ist, diese Zahl selbst auch durch 9 teilbar ist. Die Summe der Ziffer der Zahl 153 z.B. ist 1 plus 5 plus 3 gleich 9 und somit durch 9 teilbar.

1:01:18Nach der Neunerprobe ist also auch die Zahl 153 durch 9 teilbar. Diese Regel kann nützlich sein, um schnell festzustellen, ob eine Zahl durch 9 teilbar ist, ohne dass man die Teilung tatsächlich durchführen muss. Was spielt das für eine Rolle? Es spielt eine Rolle, weil es in einem additiven System, wie dem der Griechen, sprich ohne die Null, welche die Griechen nicht kannten, 9 Ziffern gibt, wobei 9 für die Einheiten, 9 für die Zehner und 9 für die Hunderter dienen. Man bräuchte also 27 Ziffern, um Zahlen bis 999 zu erhalten. Aber stattdessen waren es nur 24. Die Griechen machten es zunächst aus der Not eine Tugend, sprich sie verwendeten die ersten 9 Buchstaben des Alphabets für die Einheiten,

1:02:23die zweiten 9 Buchstaben für die Zehner und die restlichen 6 für die Hunderter. Später beschlossen sie jedoch, das System zu vereinheitlichen und fügten 3 Buchstaben für die Einheiten ein. Die Griechen hatten hinzu, welche archaische Buchstaben des griechischen Alphabets waren, z.B. das Di-Gamma und kamen so auf 27. Die Juden taten dasselbe für ihr Alphabet. Mit diesem alphabetischen System konnte man also tatsächlich Zahlen bis 999 bezeichnen. Damit schafft man zunächst eine Möglichkeit, kleine Zahlen zu schreiben, und wenn man dann über 999 hinausgehen und mit Tausenden beginnen will, gibt es einen einfachen Trick. Man setzt einfach Hochkommata, Apostrophe, wie wir sie kennen, an die vorhergehenden Buchstaben und dann soll ein Alpha eine 1 bedeuten mit einem Hochkomma, eine 1000, mit zwei eine Million und so weiter.

1:03:37Mit solchen Tricks konnte man mit den 27 Anfangsbuchstaben Zahlen schreiben, die auch sehr gross werden konnten. Die Hebräer taten dasselbe, aber da die Buchstaben einerseits als Zahlen, andererseits aber auch als Wörter gelesen werden konnten, entwickelten sowohl die Griechen als auch die Juden Künste, die es ihnen erlaubten, von Zahlen zu Wörtern und von Wörtern zu Zahlen hin und her zu pendeln. So konnte man von Worten ausgehen, sie in Zahlen umwandeln, numerisch auf die Zahlen einwirken und zu den Worten zurückkehren und Verbindungen zwischen den Worten finden. Eine dieser Künste, die Gematrie, hat zu grossem Denken und Ergebnissen geführt und noch heute nutzen z.B. die Juden diese Methode zur Auslegung der Bibel. Bestimmte Wörter haben eine numerische Bedeutung und es stellt sich,

1:04:45z.B. heraus, dass bestimmte Attribute wie gut, schön, mächtig und so weiter die gleiche Zahl haben wie das Wort, das der Gottheit entspricht.

1:05:00Zum besseren Verständnis. Gematrie ist ein System, das einem Wort oder einem Satz auf der Grundlage der Buchstaben, aus denen es besteht, einen numerischen Wert zuweisen kann. In der hebräischen Gematrie hat jeder Buchstabe des hebräischen Alphabets einen entsprechenden numerischen Wert. Zum Beispiel hat der erste Buchstabe Aleph den Wert 1, der zweite Buchstabe Beth den Wert 2, Gimmel den Wert 3 und so weiter. Mit diesem System können Wörter und Sätze addiert werden, um einen numerischen Gesamtwert zu erhalten. Diese Zahlenwerte werden oft auf verschiedene Weise interpretiert, z.B. durch die Suche nach Übereinstimmungen zwischen Wörtern oder Sätzen, die denselben Zahlenwert haben. Extrahieren versteckter oder symbolischer Bedeutung aus numerischen Summen, Verwendung von Zahlenwerten als Grundlage für Interpretationen oder Analysen von heiligen oder traditionellen Texten,

1:06:25Erforschung von Verbindungen oder Beziehungen zwischen Wörtern oder Konzepten auf der Grundlage ihrer numerischen Werte. Die Gematrie wurde sowohl für religiöse, als auch für nicht-religiöse Zwecke verwendet und ist nach wie vor Gegenstand des Studiums und des Interesses von Gelehrten, Mystikern und Liebhabern der Symbolik. Gematrie und Kabbalah sind unter anderem zwei eng miteinander verbundene Konzepte innerhalb der jüdischen Tradition und werden oft zusammen verwendet. Die Kabbalah ist eine Form der Religiöse, der jüdischen Mystik, die sich mit der esoterischen Auslegung der Tora und anderer heiliger jüdischen Texte befasst. Ihre Forschung zielt darauf ab, die Natur Gottes, des Universums und der menschlichen Seele durch eine Reihe komplexer und symbolischer Konzepte zu verstehen. Die Praxis der Gematrie wird oft mit der Suche

1:07:41nach einer verborgenen Harmonie und Ordnung im Universum in Verbindung gebracht und spiegelt die kabbalistische Vision einer von der göttlichen Bedeutung durchdrungenen Welt wider.

1:07:58Die Inder benutzten das Alphabet auf ganz andere Weise, denn die Inder hatten eine äußerst reiche Sprache und vor allem sprachliche Zwänge. Ihre Texte, auch die der Mathematik, mussten zunächst in Versen verfasst werden. Die Verse wiederum mussten eine bestimmte Metrik haben. Warum wählten die Inder diese sprachlichen in Anführungszeichen Zwänge? Wir sind uns zwar nicht ganz sicher, aber es gibt mehrere Gründe, weshalb die Inder sich dafür entschieden haben, ihre mathematischen Bücher in Versen zu verfassen. Zu einer Zeit, als Schrift- und Buchdrucker, noch nicht oder nur wenig verbreitet waren, waren die mündlichen Überlieferungen und Weitergabe von Wissen von entscheidender Bedeutung für die Bewahrung und Verbreitung von Wissen selbst. Die Abfassung mathematischer Texte in poetischer Form erleichterte die mündliche Speicherung und Wiedergabe

1:09:14von einer Generation zur nächsten. Außerdem konnten Poesie und Verse komplexe mathematische Konzepte leichter zugänglich machen und einprägsamer machen für die Zuhörenden. Die rhythmische und melodische Struktur von Versen kann Schülern helfen, sich mathematische Konzepte besser zu merken als eine rein technische und formale Darstellung. Die poetische Form kann genutzt werden, um mathematische Konzepte klar und prägnant auszudrücken. Durch die Verwendung von Metaphern, Gleichnissen und poetischen Mustern können die Autoren mathematischer Texte komplexe Konzepte vereinfachen und das Thema einem breiten Publikum zugänglich machen. Schliesslich sind in der indischen Tradition Kunst und Wissenschaft oft miteinander verwoben. Das Verfassen mathematischer Texte in poetischer Form diente nicht nur praktischen Bildungszwecken, sondern erhob die Mathematik auch auf eine Ebene kultureller und spiritueller Bedeutung, indem es sie in die reichliche literarische

1:10:41und philosophische Tradition Indiens einbezog. Es lässt sich daher vermuten, dass das Verfassen mathematischer Bücher in Versform in Indien durch eine Kombination aus pädagogischer Zweckmässigkeit, leichter Auswendiglernbarkeit, Klarheit der Darstellung und dem Wunsch, Kunst und Wissenschaft in die Kultur und literarische Tradition Indiens zu integrieren, begründet gewesen sein könnte. Dies mag für uns ungewöhnlich erscheinen, so wie wenn wir ein mathematisches oder wissenschaftliches Buch in Elfsilber, sprich ein Vers aus elfmetrischen Silben besteht, schreiben würden. Dies mag für unsere Denkweise schwierig sein. Die Inder beschlossen oder wurden durch den Rhythmus des Verses fast gezwungen, viele Synonyme zu verwenden. Schauen wir uns einige Beispiele an, um die Zahl 1 zu benennen, werden wir sie mit dem Begriff 1 und vielleicht ein paar anderen Wörtern bezeichnen.

1:11:57Für die Zahl 2 haben wir einige Synonyme, zum Beispiel Paar und so weiter. Aber unsere Art, eine Zahl zu benennen, ist eine blasse Nachahmung dessen, was die Inder taten. Denn sie hatten hunderte von Synonymen für jede Zahl. Für 1 zum Beispiel benutzten sie alles, was eindeutig oder einzigartig war. Zur Veranschaulichung, Herz haben wir 1 und verwenden es daher als Synonym für die 1. Aber das gilt auch für die Leber. Ohren haben wir 2 und können sie daher als Synonym für 2 verwenden. Und so weiter. So wird es für uns sehr schwierig, indische Texte zu lesen, denn es sind poetische Texte mit einem bestimmten Rhythmus, einer bestimmten Prosodie, jenem Zweig der Linguistik, der sich mit dem Studium vom Rhythmus,

1:12:59Intonation, Akzent und der Art und Weise, wie Wörter in einer Sprache ausgesprochen werden, geschrieben sind. Nach unserem Verständnis führt dies die Mathematik in eine Richtung, die uns sehr unmathematisch erscheint. Sicherlich viel humanistischer und viel numerologischer als die reine numerische. Wir haben daher einige Wege erwähnt, über die wir zur Bezeichnung von Zahlen gelangt sind. Wir haben aber noch nicht darüber gesprochen, wie die Kalkulationen, also die Berechnungen, durchgeführt wurden. Das römische System zum Beispiel ist für die Durchführung von Berechnungen mühsam, da es zunächst, wie wir bereits angedeutet haben, Zahlen in einem additiven System darstellt. Aber was auf den ersten Blick aus mathematischer Sicht wie ein Vorteil erscheinen mag, stellt sich als grosser Nachteil heraus. Mit den Abkürzungen des römischen Additivsystems

1:14:06würden wir, wenn wir 37 mit 83 multiplizieren würden, in römischen Ziffern die folgende Darstellung erhalten.

1:14:20xxx111 mal lxxx111. Und das Ergebnis zu bestimmen ist nicht ganz einfach.

1:14:31Tatsächlich führten die Römer keine Berechnungen mit ihrem Zahlenbezeichnungssystem durch, ebenso wie die Menschen, die ähnliche Systeme verwendeten, die es auch nicht haben. Zum Beispiel die Ägypter, die alle ihre Hieroglyphen hatten, einschließlich der Zahlenbezeichnungen. Für die Berechnungen konnten diese Bezeichnungen nicht herangezogen werden. Es ist offensichtlich, dass die Römer, die Ägypter und alle anderen diese Berechnungen trotzdem durchführten. Wie wurden sie hergestellt? Das einzigartige ist, dass alle Völker die gleiche Methode, die gleiche Technik, sozusagen das gleiche Werkzeug, entwickelt haben. Es handelt sich um ein Instrument, das dem ähnelte, was für uns heute der elektronische Taschenrechner oder der Computer darstellt. Die Sprache ist vom Abacus oder vom Rechenbrett. Es gibt dutzende archäologische Beweise dafür, dass die Völker der Antike,

1:15:48die Sumerer, die Babylonier, die Chinesen und so weiter, ein System verwendeten, das mehr oder weniger darin besteht, eine Tafel mit Erde oder Sand, später auch mit Wachs, darauf bereit zu halten. Tatsächlich leitet sich das Wort Abacus vom griechischen Begriff Abax ab, was eben Tafel oder Fläche bedeutet. Auf diesen Tafeln können Zeichen geritzt werden, die den Berechnungen entsprechen. Mit den Steinen oder Kieseln, über die wir bereits gesprochen haben, ist es natürlich einfach zu addieren. Legt man einfach die einer Zahl entsprechenden Kiesel mit denen einer anderen Zahl zusammen, erhält man einen Haufen, der die Summe darstellt. Diese Summe kann eine erhebliche Konsistenz annehmen.

1:16:48Dem kann man abhelfen, indem man kleine Kiesel entfernt und durch einen größeren ersetzt. Wir haben das vorher schon gesehen. Wenn man den Wert 10 zuordnet zum Beispiel. Es ist ein etwas umständlicher Mechanismus, aber grundsätzlich sehr praktisch. Tatsächlich verwendeten alte Völker ein System dieser Art. Das Volk, das mit dem Abacus identifiziert wurde jedoch, sind die Chinesen. Die Chinesen haben es ziemlich spät entwickelt. Zuerst wurde es, wie alles andere auf der Welt, auf Sand oder auf einer Wachstafel gekritzt. Aber irgendwann entwickelten die Chinesen das, was wir heute eben den Abacus nennen. Der chinesische Abacus bestand aus einer Reihe von Bambusstäben, auf die Kugeln gesteckt und dann in einen Holzrahmen eingefasst wurden. Es mag wie eine veraltete Art der Berechnung erscheinen,

1:17:54aber wenn wir in Ländern des fernen Ostens reisen, aber auch in Russland können wir oft darauf stoßen, können wir sehen, dass die Berechnungen immer noch auf diese Weise durchgeführt werden. Nicht, weil den Chinesen die wissenschaftlichen, technischen oder kulturellen Mittel fehlen, sondern weil es einfach sehr schnell ist. Dazu gibt es eine interessante Anekdote. Nach dem Zweiten Weltkrieg betrachteten die Amerikaner die Angewohnheit der Japaner, den Abacus zu benutzen und versuchten sie davon zu überzeugen, mechanische Rechenmaschinen zu verwenden, weil sie glaubten, dass die Technologie viel fortschrittlicher sei. Es gab sogar einen Wettkampf zwischen dem fortschrittlichsten mechanischen Rechner der amerikanischen Truppen und dem schnellsten japanischen Abacus-Experten. Bei fünf mathematischen Operationen war der Abacus schneller als der mechanische Rechner. Es ist interessant zu sehen,

1:19:06wie die Technologie der Vergangenheit auch heute noch ihre Gültigkeit behält und dass das, was aus der Vergangenheit kommt, nicht unbedingt weniger effizient oder weniger schnell ist, als das, was aus der Gegenwart oder gar aus der Zukunft kommt. Der Abacus hat, wie wir eben gesehen haben, eine sehr lange Geschichte. Eine Geschichte, die von den ersten in den Sand gezeichneten Abrechnungstabellen bis zu den Lehrmitteln reicht, die noch heute auf der ganzen Welt verwendet werden. Historiker zufolge nutzten bereits die Ägypter und Babylonier vor mehr als 3000 Jahren ähnliche Werkzeuge, die ihnen bei den komplexesten Rechenoperationen helfen konnten. Im klassischen Zeitalter waren es die Römer, die eine tragbare mechanische Version des Abacus erfanden, die sich im gesamten Abendland verbreitete.

1:20:09Er war zweigeteilt und bestand im Allgemeinen aus fünf verschiebbaren Jetons, die sich leicht bewegen liessen, was ihn zu einem nützlichen und schnellen Werkzeug für die tägliche Abrechnung machte, die alte Version unseres Taschenrechners. Dieses Modell blieb bis zum Mittelalter in Gebrauch, als er bis in die Zeit, in welcher in Europa das arabisch-indische Dezimalsystem und neue Berechnungsmethoden eingeführt wurden. Im Osten erlebte der Abacus seine grösste Entwicklung. Wie bereits erwähnt, verwendeten die Chinesen vor über 2000 Jahren ein auf Bambusstäben montiertes Gerät, das sogenannte Xuan Pan. Sieben Kugeln oder Scheiben wurden in die Stäbe gesteckt, fünf im unteren Teil waren eins wert und zwei oben waren fünf wert. Vom Xuan Pan stammt die japanische Variante Soroban, ebenfalls zweigeteilt, aber aus mehreren Reihen

1:21:16und mit fünf statt sieben Kugeln oder Scheiben. Der Soroban erfreute sich in Japan nach wie vor grosser Beliebtheit, wo jedes Jahr etwa eine Million Kinder in den zahlreichen Abacus-Clubs den Umgang damit erlernen. Sogar in Russland gibt es, wie bereits erwähnt, ein vom chinesischen Abacus inspiriertes Modell namens Shoti, das auf Märkten und bei kommerziellen Aktivitäten verwendet wird und zehn Kugeln pro Stab hat und aus einem einzigen Rahmen ohne Unterteilung besteht. Der Abacus ist der Vorfahre, des modernen elektronischen Rechnenmaschine beziehungsweise des Computers. Trotz seiner Einfachheit war der Abacus eines der wichtigsten Rechenwerkzeuge in der Geschichte der Mathematik und stellt ein Symbol für die Evolution der Menschheit dar. Dem Positionssystem, das die Babyloner und später, viele Jahrhunderte später,

1:22:23die Chinesen entwickelt hatten, fehlte immer noch eine Zutat, um daraus ein universelles, vielseitiges und wirklich effizientes System zu machen. Wie wir bereits angedeutet haben, war diese Zutat die Zahl 0. Ein Zeichen, das auf das Fehlen einer Potenz der Basiseinheiten hindeutet. Wer hat die Zahl 0 in ihrer Vollständigkeit erfunden? Es waren die Inder. Wie kommt es, dass dies den Indern gelang, und den Griechen nicht, die in anderen Bereichen, wie zum Beispiel der Geometrie, an der Spitze standen und zu Meistern dieser Kunst wurden? Der Grund hängt direkt mit der Tatsache zusammen, dass die Inder die Mathematik zum Zweck der Buchführung nutzten, die Griechen hingegen zum Zweck der Geometrie. In der Geometrie gibt es keine 0, da Längen, Flächen, Oberflächen, Volumen usw.

1:23:36alle aus positiven Zahlen bestehen. Vielleicht sogar sehr kleine. Aber wenn sich die Kugel auflöst, hört sie einfach auf zu existieren. Es ist nicht mehr eine Eigenschaft der Geometrie. Es gab also keine negativen Zahlen und insbesondere keine 0. Völlig anders in Indien. Denn in Indien wurde breit Buchhaltung geführt. In der Buchhaltung gibt es Soll und Haben. Es gibt Kreditoren und Debitoren. Und 0 ist nichts anderes als der ausgeglichene Haushalt. Das heißt, die 0 zeigte an, dass es weder Kredite noch Schulden gab. Die Bilanz war ausgeglichen. Wie haben die Inder die negativen und positiven Zahlen geschrieben? Sie haben sie mit Farben gekennzeichnet. Sie hatten keine Symbole, so wie es unser Plus und Minus sind. Und insbesondere verwenden sie die Schwarz für die negativen Zahlen

1:24:58und Rot für die positiven Zahlen. Wir stellen fest, dass dies genau die beiden Farben sind, die wir auch heute noch verwenden. In unserer Sprache sagen wir, dass negative Zahlen rote Zahlen sind. Wir haben die Farben einfach umgedreht, weil sie konventionell sind und Rot daher für uns zum Symbol des Negativsten geworden ist. Aber das Prinzip hat sich seit 2000 Jahren gehalten. Den Indern gelang es zu verstehen, dass ein Bedarf an einem Konzept wie die Zahl 0 bestand, welches das Analogen der Lehre des Nichts identifizierte. In ihrer Philosophie war es unter anderem ein äußerst nützliches Konzept, das zudem sehr zentral war. In der indischen Religion und Philosophie kann das Konzept des Nichts oder der Lehre verschiedene Formen und Bedeutungen annehmen

1:26:06und seine Bedeutung ist in verschiedenen Traditionen und Denkschulen verwurzelt. Einige der Hauptgründe, warum das Nichts als wichtig angesehen wird, sind die Lehren von der Nichtigkeit oder Svapnavada, Illusion der materiellen Welt, als eines der zentralen Elemente im Buddhismus. Tatsächlich bezieht sich der Begriff Svapnavada auf die substanzlose Natur aller Phänomene und die Abwesenheit eines permanenten Selbst. Das Verständnis der Lehre ist von grundlegender Bedeutung, um die Befreiung vom Kreislauf des Samsara zu erreichen. Aber das Konzept des Nichts ist auch im Hinduismus sehr präsent. Das hinduistische Konzept Maya bezieht sich auf die illusorische Natur der physischen Welt. Maya bedeutet, dass die materielle Welt, auch wenn sie real erscheint, vergänglich ist und nicht die letztendliche Realität darstellt.

1:27:23Das Verstehen der illusorischen Natur der Welt kann zur Suche nach der spirituellen Wahrheit führen. Wir finden das Konzept des Nichts auch im Jainismus wider. Das Konzept von Sunyata ähnelt dem buddhistischen Begriff der Leerheit. Es bezieht sich auf die Abwesenheit von dauerhafter Substanz oder inhärenter Individualität in allen Phänomenen. Das Verständnis von Sunyata ist unerlässlich, um die Anhaftung an die materielle Welt zu überwinden und die Befreiung zu erlangen, sprich Moksha. Aber wir finden die Idee des Nichts auch in der Samkhya-Philosophie. In ihr sind Purusha, sprich Geist, und Prakriti, sprich Urmaterie, zwei grundlegende Konzepte. Prakriti wird als das ursprüngliche Substrat betrachtet, das die Manifestierung aller Phänomene beinhaltet. Purusha hingegen ist die bewusste, attributlose Entität, die Prakriti passiv beobachtet.

1:28:45Das Verständnis der substanzlosen und vergänglichen Natur von Prakriti kann zu spiritueller Erleuchtung führen. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Konzept des Nichts oder der Leere in den indischen Religionen und Philosophien die vergängliche und illusorische Natur der materiellen Welt widerspiegelt und das Verständnis dieser Leere wird als wesentlich angesehen, um die spirituelle Wahrheit und die Befreiung aus dem Kreislauf des Samsara zu erlangen. Im Gegensatz zur indischen Spiritualität und Philosophie existierte die Leere in der griechischen Philosophie nicht. Im Gegenteil, die Natur verabscheute die Leere. Da das Nichts nicht existiert, wie Paraminedes mit tiefgreifenden Folgen für das gesamte griechische Denken postuliert hatte, kann das Nichtsein in der Tat nicht sein. Paraminedes und seine berühmten Paradoxien werden Gegenstand unserer näheren Betrachtung sein,

1:30:04wenn wir uns der vorsokratischen Philosophie des antiken Griechenlands zuwenden. So können wir verstehen, dass auch die Entwicklung der Mathematik zum Teil auf die Gewohnheit, auf die Praxis zurückgeht, die aus diesen Begriffen gemacht wurde. Der Umstand, die Mathematik für die Geometrie oder die Buchhaltung zu verwenden, führte in verschiedene Richtungen, aber auch die Philosophie hatte einen direkten Einfluss. Auf diesem kulturellen Humus wurde die Null geboren. Die Geschichtsschreibung ordnet diese Entdeckung einem jener aussergewöhnlichen Wissenschaftler zu, der im aussergewöhnlichen Gupta-Reich lebte und den wir bei unserem letzten Treffen erwähnt haben. Sein Name war Aryabhata und er lebte zwischen 476 und 550. Er war der Autor mehrerer Abhandlungen über Mathematik und Astronomie, von denen einige leider verloren gegangen sind. Er studierte an der Universität

1:31:21von Nalanda und wurde später deren Fakultätsleiter. Die Nalanda Mahavyara, die älteste Universität der Welt, nahm ihre Tätigkeit im 5. Jahrhundert nach Christus auf. Als im Jahr 1088 in Bologna die erste europäische Universität gegründet wurde, hatte Nalanda bereits seit über 600 Jahren Tausenden von Studenten eine höhere Ausbildung geboten. Im 7. Jahrhundert zählte in Nalanda 7'000 Studenten, die nicht nur in Philosophie und Buddhismus unterrichtet wurden, sondern auch in eine Reihe weltlicher Fächer wie Grammatik und Literatur, Astronomie, Architektur, Bildhauerei und Medizin. Nach mehr als 7 Jahrhunderten Lehrtätigkeit wurde Nalanda im 12. Jahrhundert von einfallenden Armeen aus Westasien zerstört. Die Bibliothek, ein neunstöckiges Gebäude mit Tausenden von Manuskripten, soll drei Tage lang gebrannt haben. Die Zerstörung der Nalanda-Universität fiel in die Zeit zwischen der Gründung

1:32:45der Oxford-Universität 1167 und der Cambridge-Universität 1209. Ein Großteil der von Aryabhata in Nalanda durchgeführten Forschungen umfasste Themen aus Astronomie, Mathematik, Physik, Biologie, Medizin und anderen Bereichen.

1:33:12Seine wichtigsten Werke gründeten auf früheren Entdeckungen der Griechen, Mesopotamier und der Universität von Nalanda selbst. Das Aryabhatya, ein Kompendium der Mathematik und Astronomie, wurde in der indischen mathematischen Literatur zitiert und hat bis in die Neuzeit überlebt. Der mathematische Teil des Aryabhatya umfasst Arithmetik, Algebra, Ebene und sphärische Trigonometrie. Es enthält auch Kettenbrüche, quadratische Gleichungen, Potenzreihen und eine Sinustabelle. Es war dieser außerordentliche Wissenschaftler, welcher die Entdeckung und Einführung der Null in der Mathematik tätigte. Die Einführung der Null in der Mathematik hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf die Entwicklung der Disziplin und führte zu bedeutenden Veränderungen in der Art und Weise, wie wir Zahlen und mathematische Operationen verstehen. Die Null ermöglichte die Entwicklung des Positionssystems der Zahlen, wie wir es heute kennen und übernommen haben.

1:34:36Das Positionssystem hat die Darstellung und Manipulation von Zahlen erheblich vereinfacht. Die Null machte insbesondere arithmetische Operationen, vor allem Addition und Substraktion, effizienter. Sie bot eine Möglichkeit, das Fehlen einer Menge an einer bestimmten Stelle darzustellen, was direkte Operationen und eine kompaktere Darstellung von Zahlen ermöglichte. Aber auch für die Entwicklung der Algebra als Zweig der Mathematik war die Null wesentlich. Sie ermöglichte die symbolische Manipulation von Gleichungen und den Einsatz algebraischer Methoden zur Lösung einer Vielzahl mathematischer Probleme. Die Einführung der Null hatte auch Auswirkungen auf die Geometrie und die mathematische Analyse und ermöglichte die Entwicklung von Konzepten wie dem karthesischen Koordinatensystem und der Infinitesimalrechnung, die später von Mathematikern wie Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt wurden. Im Wesentlichen revolutionierte die Einführung der Null

1:35:54die Art und Weise, wie wir Zahlen verstehen und handhaben und trug wesentlich zur Entwicklung mehrerer Bereiche der Mathematik bei, von der Arithmetik bis zur Algebra, von der Geometrie bis zur Analyse. Sie gilt als einer der größten Fortschritte in der Geschichte der Mathematik. Es besteht kaum ein Zweifel daran, dass Aryabhata zu den großen Genies der Menschheit gezählt werden muss. Neben der Null wird ihm auch ein Beitrag zur Berechnung des griechischen π zugeschrieben. Aryabhata benutzte eine geometrische Methode, um den Wert von π zu berechnen und schätzte ihn als Quadratwurzel aus 10, sprich ungefähr 3,1622, was eine genaue Annäherung auf drei Dezimalstellen ist. Auch wenn diese Schätzung nicht so genau war wie die später von einem anderen Mathematiker,

1:37:03z.B. dem indischen Mathematiker Madhava im 14. Jahrhundert, ist sie dennoch ein bemerkenswerter Beitrag zur Geschichte der Berechnung von π. Er berechnete auch einen Nährungswert für den Erdumfang von etwa 4,967 Yoyangas, also etwa 39,968 km, anstelle des heute berechneten Wertes von 40,075 km. Er hat sich also rund um 107 km verschätzt. Er schlug auch ein heliozentrisches Modell des Sonnensystems vor, das besagt, dass die Erde um ihre eigene Achse dreht und die Sonne umkreist. Auch das ein paar Tage vor Kepler. Schliesslich verdanken wir ihm, neben vielen anderen Entdeckungen, auch das Konzept der negativen Zahlen. Dabei handelt es sich um Zahlen, die Grössenordnungen kleiner als 0 darstellen. Mit anderen Worten, es handelt sich um Zahlen, die sich auf der Zahlengerade links von der 0 befinden.

1:38:24Beispielsweise für negative Zahlen sind minus 3, minus 2 und minus 1. Negative Zahlen sind wichtig, weil sie es ermöglichen, Situationen darzustellen, in denen Schulden, Defizite, Minustemperaturen und andere Grössen unterhalb eines Referenzpunktes liegen. Negative Zahlen sind in der Mathematik, der Physik, der Wirtschaft und vielen anderen Disziplinen unverzichtbar. Sie ermöglichen es, eine Vielzahl von realen Situationen zu bewältigen und Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Zahlen durchzuführen, die sowohl positive als auch negative Werte darstellen. Seine Werke haben die indische Mathematik und Astronomie nachhaltig beeinflusst und sein Werk wird weltweit für seine Innovationen und sein tiefes Denken studiert und geschätzt. Aryabhata gilt als einer der Pioniere der Wissenschaft und Mathematik in Indien und sein Beitrag war für die Entwicklung

1:39:39der wissenschaftlichen Disziplinen von grundlegender Bedeutung. Nur 50 Jahre nach dem Tod von Aryabhata erlebte das Gupta-Reich die Geburt eines neuen mathematischen Sterns, Brahmagupta. Er lebte zwischen 598 und 688 und gilt als einer der grössten Mathematiker Indiens. Brahmagupta behandelte ein breites Spektrum mathematischer Themen, darunter Algebra, Arithmetik, Geometrie und Astronomie. Sein Werk enthält Regeln für das Rechnen mit Zahlen, Brüchen, Quadrat- und Kubikwurzeln und Gleichungen zweiten Grades. Brahmagupta ist auch dafür bekannt, dass er den Satz vom Flächeninhalt eines zyklischen Vierecks formulierte, der auch als Brahmaguptasatz bekannt ist und besagt, dass der Flächeninhalt eines in einem Kreis eingeschriebenen Vierecks aus den Längen seiner Seiten berechnet werden kann. Praktisch zeitgleich mit Brahmagupta feierte das Gupta-Reich den anderen Stern der astronomischen und mathematischen Wissenschaft,

1:41:05Pashkara. Er wurde im Jahr 600 geboren, lebte 80 Jahre lang und war der erste, der Zahlen im indischen Dezimalsystem schrieb und die Zahl 0 mit einem Kreis darstellte. Pashkaras mathematischer Beitrag, der wahrscheinlich der wichtigste seiner Arbeit ist, betrifft die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem. Sein System ist wirklich positional, denn die gleichen Wörter, die sie darstellen, können auch zur Darstellung von Werten verwendet werden. Bemerkenswerterweise stellt er eine gegebene Zahl in diesem System mit der Formel ankaya api dar, sprich mit den Abbildungen liest man das, was es ist. Indem er sie mit den ersten 9 Brahamizahlen schreibt und einen kleinen Kreis für die 0 verwendet. Im Gegensatz zu seinem Wortsystem werden die Ziffern jedoch in abnehmenden Werten

1:42:12von links nach rechts geschrieben, genau wie heute.

1:42:19Wie man sich vorstellen kann, gibt es einen leeren Kreis, was bedeutet, dass sich darin nichts befindet. Der leere Kreis ist eigentlich auch das Symbol, das wir erhalten, wenn wir eine Einheit, z.B. einen Stein aus dem Sand nehmen. Es bleibt ein Loch zurück, das wir durch einen kleinen Kreis darstellen können. Später wurde dieses Symbol von den Arabern mit dem arabischen Begriff sifr übersetzt und davon leitet sich, wie man an der Assonanz hört, unser Begriff sifr ab. Die Araber bezeichneten mit diesem Begriff nur die 0, aber im Westen wurde er zum Wort für alle Ziffern des Zahlensystems, das wir heute noch verwenden. Die 0 war in der Geschichte des Westens aber erst später von Bedeutung. Es waren nicht nur die Inder,

1:43:24die sie erfunden haben, sondern auch ein anderes Volk. Ein Volk, das völlig losgelöst von unserer Geschichte war, denn es waren die Mayas, die im Mittelmeer Amerika lebten und weder mit Europäern noch mit Indern in Kontakt waren. Sie taten es unabhängig und entwickelten ein System mit Basis 20 anstatt mit Basis 60 wie die Babylonier. Ein System mit Basis 20, das unter anderem für die mesoamerikanischen Kulturen wie die Inkas, die Maya oder die Azteken typisch ist. Sie alle verwendeten ein System mit Basis 20, aber nur die Maya entwickelten irgendwann das Konzept der 0. Die Maya waren große Astronomen und brauchten sogar riesige Zahlen für die Berechnung ihres Alters und die Berechnung der Bahn der Planeten und Sterne.

1:44:23Diese beiden Völker, das heißt den Indern einerseits und den Maya andererseits, gebührt der Dank der ganzen Welt. Denn mit der Ankunft der 0 war die Entwicklung des Zahlenbegriffs endgültig abgeschlossen. Es wurde ein Positionssystem geschaffen, das 10 Ziffern umfasste. 10 Ziffern, die allein die Einheiten und dann über die Zehner, Hunderter, Tausender und allen Potenzen der Basis 10 einfach durch ihre Reihenfolge angegeben werden konnten. Nun konnte man die Ziffern endlich zum Rechnen anwenden. Wie wir gesehen haben, schrieben die Inder im 6. Jahrhundert unserer Zeitrechnung Abhandlungen, in denen sie die Multiplikationen auf genau dieselbe Weise durchführten wie wir. Von da an wurde die Mathematik zu dem, was sie heute ist. Das indische System erreichte uns in Europa, wie bereits angedeutet,

1:45:32erst in einem zweiten Schritt. Es kam dann dank den Arabern zu uns und deshalb sprechen wir heute von arabischen, statt von indischen Zahlen. Die Araber, die geografisch nahe an Indien liegen, übernahmen das indische System fast sofort. Der grundlegende Text über die Verbreitung des indischen Systems in den arabischsprachigen Ländern stammt aus dem Jahr 825. Er wurde von Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi, besser bekannt als Al-Khwarizmi, verfasst. Er war ein berühmter persischer Mathematiker, Astronom und Gelehrter, der zwischen 780 und 850 lebte und als einer der größten Mathematiker des goldenen Zeitalters des Islams und als einer der Begründer der Algebra und der Infinitesimalrechnung gilt. Nach ihm ist der Begriff Algorithmus benannt, mit dem eine Abfolge genau definierter Schritte zur Lösung eines mathematischen

1:46:43oder rechnerischen Problems bezeichnet wird. Dieser Begriff wird heute in der Informatik weiterhin verwendet, um klar definierte und wiederholbare Rechenverfahren zu beschreiben. Ein weiteres seiner Bücher befasst sich mit der Zerlegung und Neuzusammensetzung der Zahlen. Der Begriff Zusammensetzung heisst auf Arabisch Al-Jabr und unser Begriff Algebra ist davon abgeleitet. Unter Algebra verstand man damals in erster Linie die Zerlegung und Neuzusammensetzung der Teile von Monomen, d.h. algebraischen Ausdrücken, die aus einem einzigen Ausdruck bestehen, oder Polynomen, d.h. algebraischen Ausdrücken, die aus einer Summe von Monomen bestehen, die in Berechnungen verwendet wurden. Innerhalb weniger Jahrzehnte verbreitete sich die arabische Version der indischen Ziffern im gesamten Maghreb und gelangte von dort über das damals von den Maurern beherrschte Spanien nach Europa. Gegen Ende des Jahrtausends um 980

1:47:59reiste der Benediktiner Mönch Gerbert von Orillac, auch bekannt als Gerbert von Rhin, der später Papst Silvester II. nach Andalusien, wo er die maghrebinische Version der indischen Ziffern aus arabischen Texten lernte, die er später nach Italien und Europa importierte. Erst 1202 veröffentlichte ein Italiener ein Pisaner namens Leonardo da Pisa, besser bekannt unter dem Namen Fibonacci, eine Abkürzung des lateinischen Begriffs Filius, Sohn von Bonacci, das Liber Abaci, das Buch des Abacus. Dieser Titel ist besonders eigenartig, denn das Buch ist genau das Gegenteil. Das heisst, es zeigt auf, wie nutzlos es ist, den Abacus zu benutzen, wenn man die von den Indern erfundenen und von den Arabern überlieferten Ziffern kennt und praktiziert. Man könnte meinen, dass jemand diese Dinge endlich erklärt hatte

1:49:14und wir sie alle akzeptieren konnten. Das war aber nicht der Fall. Es gab einen enormen Widerstand gegen die arabischen Zahlen. Man denke nur daran, dass in Florenz am Ende des 13. Jahrhunderts im Jahr 1299 ein Edikt erlassen wurde, welches die arabischen Zahlen verbot. Der Grund für dieses Edikt war die Befürchtung, dass man mit diesem neuen System leicht betrügen könnte. Die florentinischen Behörden argumentierten, dass beispielsweise das Hinzufügen eines Strichs am oberen Teil der Null oder am Strich im unteren Teil der Null dieselbe in eine 6 oder in eine 9 verwandeln könnte. Dieser Streit hielt bis ins 16. Jahrhundert an. Ein Streit zwischen den Anhängern der Algorithmen und den Anhängern des Abakus. Begünstigt wurde das Aufkommen des algorithmischen Systems

1:50:19unter anderem durch die Verbreitung des Buchdrucks. Das System wurde einheitlich. Die Ziffern wurden überall in Europa zu dem, wie wir sie heute kennen. Es war ein langer Weg, der mit den eingravierten Knochen, Kieselsteinen, Rosenkranzperlen, Knotenketten usw. begann, um zu einem abstrakten System zu gelangen, das nur aus 10 Ziffern besteht, mit denen man alle Rechnenaufgaben lösen kann. Dies ist das System, das wir heute noch verwenden und dies ist, kurz gesagt, die Geschichte der Reise von primitiven Menschen zum modernen Computer. Wir können also sagen, dass die Mathematik, ein universelles Unternehmen der Menschheitsgeschichte ist. Eine Geschichte, zu der alle Völker beigetragen haben, aber unter all diesen Völkern hat die indische Kultur den grundlegenden Beitrag zu einem evolutionären Antrieb geleistet,

1:51:25der immer noch andauert. In unserer nächsten Sitzung werden wir uns dem ständigen Reisebegleiter der Mathematik, der Geometrie, zuwenden. Die beiden Disziplinen sind miteinander verbunden und haben sich im Laufe der Geschichte des menschlichen Wissens gemeinsam entwickelt. Es handelt sich um die zwei grundlegenden Disziplinen, die eine wichtige Grundlage für die Welt um uns herum darstellen. Der Beitrag des alten Indiens zu Geometrie war von grosser Bedeutung. Man denke nur an ihre Innovationen in Bezug auf Messsysteme, die Entwicklung geometrischer Konzepte, die Ausarbeitung dessen, was wir den Satz des Pythagoras nennen, Trigonometrie und analytische Geometrie.

1:52:25Das war die Geschichte Indiens Teil 5. Präsentiert von der Bar Rouge und der Akademie der Vernunft. Bis zum nächsten Mal auf diesem Kanal.

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