Die Geometrie als Verbindung zum Sakralen — Transkript

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0:00:00Die Akademie der Vernunft und Barouge Präsentieren Die Geschichte Indiens, Teil 6 Die Geometrie als Verbindung zum Sakralen und der Spiritualität Geometrie verbindet praktische und theoretische Anwendungen und ist tief in der kulturellen und spirituellen Geschichte verankert. Sie bleibt eine zentrale Disziplin in Wissenschaft, Technik, Ingenieurwesen und Kunst und hilft uns, die Welt zu verstehen und neue Technologien zu entwickeln. Wir wünschen viel Vergnügen bei der Geschichte Indiens, Teil 6.

0:00:42Anlässlich unseres letzten Treffens haben wir einen Spaziergang durch die Geschichte der Mathematik unternommen und aufgezeigt, wie das Indien des klassischen goldenen Zeitalters wesentlich zu ihrer Entwicklung zurückkehrt. Eine Entwicklung, die bis zum heutigen Tag bestimmend ist, wie wir gesehen haben.

0:01:14Die Mathematik, oder genauer gesagt die Arithmetik, verdankt ihre Entwicklung in konsequenter Weise der Geometrie. Die Beziehung zwischen Geometrie und Arithmetik ist tiefgreifend und grundlegend, da die Geometrie einer der Hauptzahlen. Der Begriff Geometrie stammt aus dem Altgriechischen. Das Wort setzt sich aus zwei griechischen Wurzeln zusammen, nämlich Geo, was Erde bedeutet. Diese Wurzel wird auch in anderen Wörtern, wie Geografie, sprich die Beschreibung der Erde, oder Geologie, sprich das Studium der Erde, verwendet. Und der Wurzel wird auch in anderen Wörtern, wie Geografie, sprich die Beschreibung der Erde, oder Geologie, sprich das Studium der Erde, verwendet. Und der Wurzel wird auch in anderen Wörtern, wie Geografie, sprich die Beschreibung der Erde, verwendet. Abgeleitet vom Verb Metreo, was messen bedeutet.

0:02:20Geometrie bedeutet also wörtlich Vermessung der Erde. Geometrie bedeutet also wörtlich Vermessung der Erde. Dies spiegelt den praktischen Ursprung der Geometrie in der Antike wider, als sie hauptsächlich zur Vermessung und Aufteilung von Land, zur Bestimmung und Grundstücksgrenzen als sie hauptsächlich zur Vermessung und Aufteilung von Land, zur Bestimmung und Grundstücksgrenzen konstruktionen von Gebäuden verwendet wurde. Antike Zivilisationen, wie die Ägypter, entwickelten, wie wir noch sehen werden, geometrische Techniken für praktische Zwecke im Zusammenhang mit der Landwirtschaft und dem Bauwesen. Im Laufe der Zeit entwickelte sich die Geometrie von einer empirischen und utilitaristischen Praxis Im Laufe der Zeit entwickelte sich die Geometrie von einer empirischen und utilitaristischen Praxis in einer strengen mathematischen Disziplin, die wegen ihrer theoretischen Eigenschaften und abstrakten Anwendungen entsprechend erforscht wurde.

0:03:31Geometrie ist das Studium der Eigenschaften und Beziehungen von Formen, Dimensionen, relativen Positionen von Figuren und Eigenschaften des Raumes. Die Mathematik liefert die Sprache und die Werkzeuge, Die Mathematik liefert die Sprache und die Werkzeuge, die zur Beschreibung und Analyse geometrischer Figuren benötigt werden. Dazu gehören die Verwendung von Gleichungen, Formeln und algebraischen Konzepten. Was ist der Ursprung der Geometrie? Der Mensch nimmt die Wirklichkeit als eine Menge von Figuren, Linien und Flächen wahr. Um mit der Welt in Beziehung zu treten, muss er daher lernen, den Raum zu messen, die Form und Größe von Objekten zu bestimmen und ihre Symmetrie zu erkennen. All diese Handlungen gehören zum Bereich der Geometrie. Schon die antiken Zivilisationen hatten verstanden, wie wichtig es ist,

0:04:48die Eigenschaften von Formen und ihre Beziehungen zum Raum zu messen. Auf diese Weise konnten einige grundlegende praktische Fragen gelöst werden. Für die Ägypter war dies die ordnungsgemäße Wiederherstellung der Landesgrenzen nach den Überschwemmungen des Nils, der mit seiner großen Lehmschicht die alten Grenzen einfach zugedeckt hat, oder der Bau der berühmten Pyramiden. In Indien hingegen. Spielte die Geometrie eine unverzichtbare Rolle bei der Darstellung der artikulierten religiösen Symbolik. Später waren es die Griechen, die dank den Studien von Pythagoras und Euclid einen Qualitätssprung in der Geometrie machten. Diese konkreten Zwecke werden durch den theoretischen Rahmen bereichert, was sie zu einer echten Wissenschaft macht. In der Tat, die Wissenschaft schlechthin. Die große Bedeutung, die ihr in der Antike zukam, wird durch die Inschrift bezeugt, die der große Philosoph Platon in seiner Akademie in Athen anbringen ließ.

0:06:12Zitat

0:06:18Zitat Ende Wie bereits erwähnt, ist die Geometrie neben der Arithmetik der zweite grundlegende Teil der Geometrie. Die Arithmetik befasst sich mit den Zahlen und die Geometrie mit den Figuren. Die beiden Teile entsprechen in etwa dem sogenannten synthetischen Urteil a priori, der Wahrnehmung, des Philosophen Immanuel Kant, nämlich Raum, sprich Geometrie und Zeit. Der Begriff a priori ist für Kants Philosophie von grundlegender Bedeutung. In seinem Hauptwerk, der Kritik der reinen Vernunft, untersucht Kant die Grundlagen der menschlichen Erkenntnis und führt eine entscheidende Unterscheidung zwischen a priori und a posteriori ein. Doch was versteht Kant unter a priori und a posteriori? A priorisches Wissen ist unabhängig von der Erfahrung. Es ist universell. Und notwendig, sprich es ist in jeder möglichen Situation wahr.

0:07:41Kant vertritt die Auffassung, dass einige Formen des Wissens nicht aus der sinnlichen Erfahrung stammen, sondern dem menschlichen Geist angeboren sind. Beispiele für a priorisches Wissen sind mathematische Sätze und bestimmte logische Wahrheiten. Zum Beispiel, alle Körper sind ausgedehnt, oder 5 plus 3 gleich 8. Das a posteriori Wissen hingegen wird aus der Erfahrung abgeleitet. Es ist kontingent, sprich es kann unter bestimmten Umständen wahr sein, aber nicht unbedingt unter allen. Beispiele für a posteriori Wissen sind empirische Aussagen wie der Himmel ist blau oder Wasser kocht, bei 100 Grad Celsius auf Meereshöhe. Kant führt jedoch eine weitere wichtige Unterscheidung zwischen analytischen und synthetischen Urteilen ein. Bei analytischen Urteilen ist das Prädikat im Subjekt enthalten. Sie sind erklärend und fügen keine neuen Informationen hinzu.

0:09:04Sie sind notwendigerweise wahr und a priori. Zum Beispiel stellt die Beispiele, die wir hier sehen, die wir hier sehen, die wir hier sehen. Die Behauptung, dass alle Körper ausgedehnt sind, die Tatsache in den Raum, dass die Idee der Ausdehnung im Begriff des Körpers implizit enthalten ist. Bei synthetischen Urteilen fügt das Prädikat dem Subjekt etwas hinzu, das nicht in ihm enthalten ist. Sie können entweder a priori oder a posteriori sein. Nehmen wir ein synthetisches Beispiel a posteriori. Schnee ist weiss. Im synthetischen Beispiel a priori, 5 plus 3 gleich 8, argumentiert Kant, dass dieses Urteil synthetisch ist, weil der Begriff 8 weder im Begriff 5 noch im Begriff 3 enthalten ist. Es ist jedoch a priori. Weil es nicht aus der Erfahrung abgeleitet ist.

0:10:17Eine der wichtigsten Neuerungen Kants ist das Konzept der synthetischen Urteile a priori. Er argumentiert, dass die Mathematik und die grundlegenden Gesetze der Physik aus solchen Urteilen bestehen. Nach Kant macht die Möglichkeit der synthetischen a priorischen Erkenntnis die Wissenschaft erst möglich. Im Wesentlichen erklärt Kant, dass der menschliche Geist über angeborene Strukturen verfügt, welche die Erfahrung organisieren. Diese Strukturen sind die reinen Formen der Intuition, Raum und Zeit. Und die Kategorien des Verstandes wie Kausalität, Substanz, Einheit und so weiter.

0:11:10Sie wirken a priori und machen jede sinnliche Erfahrung möglich. Der Begriff des a priorischen ist daher für Kants kritische Philosophie von zentraler Bedeutung. Er steht für ein von der Erfahrung unabhängiges Wissen und bildet die Grundlage für Wissenschaft und Mathematik. Die Unterscheidung zwischen a priori und a posteriori bildet zusammen mit der Unterscheidung zwischen analytisch und synthetisch, die Grundstruktur seiner Erkenntnistheorie, sprich der kritischen Untersuchung des Wesens und der Grenzen wissenschaftlicher Erkenntnis unter besonderer Berücksichtigung der logischen Strukturen und der Methodologie der Wissenschaften.

0:12:14Diese zu erklären versucht die Wissenschaft und die Methodologie. Sie versucht zu erklären, wie menschliche Erkenntnis möglich ist. Und wie sie durch die angeborenen Strukturen des Geistes begrenzt und bedingt ist.

0:12:33Um auf die Geometrie zurückzukommen, müssen wir uns unter Berücksichtigung des kantischen Denkens die Frage stellen, wie wir diese Konzepte gelernt haben. Insbesondere jenes des Raumes. Es ist sehr schwierig zu verstehen, wie die Raumwahrnehmung des Menschen zustande gekommen ist. Denn dies geschah sicherlich lange bevor wir schreiben konnten, bevor wir diese Eindrücke aufzeichnen konnten, bevor wir einerseits versuchen, intuitiv zu denken und andererseits versuchen, die Archäologie unserer Menschheit auszugraben. Eine Möglichkeit, die dem früheren Motto entspricht, dass die Entwicklung des Individuums und die Entwicklung der Spätsommer parallel verlaufen, wäre, sich anzuschauen, wie Kinder die geometrische Wahrnehmung erlernen und sich dann vorzustellen, dass es in der Menschheitsgeschichte tatsächlich auch so war.

0:13:51Leider ist das wahrscheinlich nicht der Fall. Denn es gibt zahlreiche Studien, insbesondere jene vom bedeutenden Schweizer Psychologen und Erkenntnistheoretiker Jean Piaget, der jahrzehntelang Kinder beobachtet und erforscht hat, um zu verstehen, wie sich ihre Fähigkeiten nicht nur geometrische, sondern auch arithmetische und sogar kausale Fähigkeiten und ganz im Allgemeinen ihre Denkweise mit dem Alter entwickeln. Nach Piaget finden die Mechanismen des Geometrieerwerbs in der Kindheit ihren Ausgangspunkt in den Zeichnungen, welche Kinder in den Wachstumsphasen anfertigen. In den ersten Lebensjahren sind sie durchaus in der Lage, die Formen von Gegenständen zu erkennen und sie auf unterschiedliche Weise darzustellen. Ein Ball zum Beispiel hat ein kreisförmiges Aussehen, während ein Haus wie ein Quadrat aussieht. Aber erst im Alter von etwa fünf Jahren ist ein Kind in der Lage,

0:15:12Gegenstände in die richtige räumliche Beziehung zu setzen. Menschen werden mit den Füßen auf dem Boden abgebildet und nicht mehr in der Luft oder auf Dächern. Das Konzept von innen, außen, oben und unten wird nun verinnerlicht. Um den nächsten Entwicklungsschritt, das Erkennen von Maßen, zu erreichen, muss man allerdings noch einige Jahre warten. Etwa im Alter von sieben Jahren werden Gegenstände in den richtigen Proportionen gezeichnet. Der Mensch ist kleiner als ein Haus und größer als ein Hund oder eine Katze. Bei der Analyse dieser drei Entwicklungsstufen stellt Piaget fest, dass die räumliche Wahrnehmung des Kindes einen einzigartigen Weg einschlägt, welcher der Entwicklung der Geometrie im Laufe der Geschichte entgegengesetzt ist. Das erste Stadium der kindlichen Entwicklung jenes der Formenerkennung

0:16:25entspricht in der Tat der Topologie. Topologie, ein Zweig der Geometrie, der erst ab dem 19. Jahrhundert erforscht wird. Später, wenn die Kinder den Blickwinkel entdecken und lernen, Beziehungen zwischen Objekten zu erkennen, scheinen sie auf die projektive Geometrie zurückzugreifen, deren Theorie bis in die Renaissance zurückverfolgt werden können. Die letzte Phase schliesslich fällt mit der Intuition der Grundsätze der metrischen Geometrie zusammen, die von Euclid vor über 2000 Jahren erklärt und verbreitet wurde. Die Überlegungen von Piaget lassen eine faszinierende Analogie zwischen der Entwicklung des Individuums und dem Weg der Zivilisation erkennen, die bis in die Vorgeschichte unserer Kultur zurückreicht. Eine ferne Epoche, in welcher der Mensch ebenso wie das Kind seine ersten geometrischen Grundlagen intuitiv erlernte und deren Gebiete noch immer unerforscht sind.

0:17:44Für uns ist der grundlegende Sinn für die Raumwahrnehmung das Sehen. Und es ist interessant, dass es viele Menschen gibt, die sagen, sie verschünden nichts von Mathematik, denn jeder von uns, es sei denn, er hat eine Augenkrankheit, ist durchaus in der Lage, sich umzuschauen, zu beurteilen, was nah und was fern ist. Wie wird diese Einschätzung vorgenommen? Sie erfolgt auf der Grundlage eines wichtigen und berühmten Satzes der Euclidischen Geometrie, welcher besagt, dass sobald eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks bestimmt sind, das gesamte Dreieck bestimmt ist. Wenn wir eine Seite und zwei angrenzende Winkel kennen, wissen wir alles, auch die Höhe und damit auch den Abstand der anderen Spitze zu dieser Seite. Was hat das mit unserer Wahrnehmung des Raumes zu tun?

0:18:54Lasst uns versuchen zu verstehen, wie wir den Raum wahrnehmen. Wir haben zwei Augen. Diese beiden Augen bilden die Basis eines Dreiecks. Die Augen sind jedoch beweglich. Sie können sich nicht in die Ferne bewegen, aber sie können sich nach links oder rechts bewegen, nach oben oder unten und entsprechend der Wendung auch leicht nach unten und oben wenden. Um sich auf ein Objekt zu konzentrieren. Wenn Sie ein Objekt fokussieren, ändern Sie Ihren Blick und auch die Winkel, welche die beiden Augen in Bezug auf die fixierte Seite bilden. Durch die Auswertung dieser Winkel, die einzige Information, die wir von unseren Augen erhalten, ist unser Gehirn in der Lage, alle Dimensionen dieses Dreiecks zu verarbeiten und zu berechnen. Auf der Grundlage des eben erwähnten Kriteriums,

0:19:53sprich der Seite und der beiden angrenzenden Winkel. Und so die Entfernung eines Objekts von uns zu bestimmen. Mit einem solchen Mechanismus sind wir also in der Lage, das Problem zu lösen bezüglich was nah und was fern ist. Unser räumliches Vorstellungsvermögen ist hauptsächlich auf das Sehen zurückzuführen. Aber nicht nur das Sehen vermittelt uns die Wahrnehmung des Raumes. Auch unsere Ohren vermitteln sie uns. Warum sind die Ohren so positioniert, wie sie es sind? Der Schall hat die Fähigkeit, Hindernisse zu überwinden. Um die Schallwahrnehmung zu optimieren, ist es daher sehr wichtig, dass die Ohren so weit wie möglich voneinander entfernt sind.

0:20:46Sie befinden sich auf den beiden Seiten des Gesichts, denn so können Sie Geräusche, die von einem bestimmten Objekt kommen, wahrnehmen und durch unbewusste Gehirn-Sensoren, also Gehirnberechnungen, von denen wir absolut nichts wissen, außer dass wir das Ergebnis kennen, die Zeit abschätzen, die der Schall braucht, um das eine Ohr, das dem Objekt z.B. am nächsten ist, und das andere, weiter entfernte Ohr zu erreichen. Und durch entsprechende Proportionen die Entfernungen erneut abzuschätzen. So können wir auch mit unseren Ohren, also mit unserem Gehör, den Raum wahrnehmen. Es gibt noch einen anderen Sinn, der an der Vorstellung von Raum beteiligt ist. Es ist das Labyrinth. Ein Organ, das sich im Innenohr befindet, aber nichts mit dem Hören zu tun hat

0:21:56und aus sogenannten halbkreisförmigen Kanälen besteht. Diese Kanäle sind Halbkreise, die den drei Raumrichtungen angeordnet sind. Eins, zwei.

0:22:15In ihnen befindet sich eine Flüssigkeit und an den Wänden befinden sich Sinneszellen, die mikroskopisch kleinen Haaren ähneln, die sogenannten Haarzellen. Und mikroskopisch kleine Steine, die sogenannten Otolyten. Und wenn wir unseren Kopf drehen, und das können wir auf drei verschiedene Arten tun, denn wir können unseren Kopf gerade von links nach rechts, von oben nach unten, und wir können ihn schließlich von links nach rechts kippen, können wir mit diesen drei Bewegungen die drei Raumrichtungen, in denen die Kanäle des Urlabyrinths angeordnet sind, angeordnet sind, nachverfolgen.

0:23:16Wenn wir unseren Kopf bewegen, berühren die Otolyten durch die Bewegung die Haarzellen, die wiederum die Information an das Gehirn weiterleiten. Dies ist eine ausgeklügelte Vorstellung und Wahrnehmung der drei Dimensionen, mit deren Hilfe wir uns im Raum orientieren können. Wir verstehen also, dass der Raum eine sehr komplexe Wahrnehmung ist, und die Geometrie, welche diesen Raum untersuchen will, sich mit dieser besonderen Art der Wahrnehmung arrangieren muss. Bevor wir jedoch zur Geometrie kommen, müssen wir noch einige grundsätzliche Überlegungen anstellen, um zu verstehen, wie zuverlässig unsere Sinne in der Wahrnehmung sind, die sie uns vermitteln oder eben nicht. Wenn wir uns mit dem Raum aus geometrischer Sicht beschäftigen, sprich aus der Sicht der Disziplin, die den Raum erforscht, müssen wir vorsichtig sein,

0:24:32ob uns die Sinne in Wirklichkeit nicht manchmal täuschen. Wenn wir das nächtliche Himmelsgewebe betrachten, scheint es uns, dass die Sterne kreisförmig angeordnet sind, während sie in Wirklichkeit willkürlich im Raum verteilt sind und keinesfalls die Form einer Halbkugel haben. Wir wissen, dass die Erde rund ist, und so stellen wir uns vor, dass wir, wenn wir die Erde von einem Heißluftballon aus betrachten, ihre Wirkung sehen. Das ist aber nicht der Fall. Seltsamerweise erscheint uns die Erde konkav, sprich in die entgegengesetzte Richtung zu dem, was wir als die tatsächliche Krümmung der Erde kennen. Diese Beobachtung wirft die Frage auf, ob unsere Sinne uns Wahrnehmungen vermitteln, die in irgendeiner Weise mit unserer Umgebung in Verbindung stehen. Manchmal werden diese Wahrnehmungen vom Gehirn in einer Weise verarbeitet,

0:25:54welche uns ein verzerrtes Bild der Realität vermittelt. Es gibt also visuelle Paradoxa, die sehr interessant sind und uns erkennen lassen, dass die Dinge vielleicht nicht so einfach sind, wie wir sie uns vorstellen. Oder wie Plato es ausdrückte, nichts ist so, wie es uns auf Anhieb erscheint. Wir haben bereits Immanuel Kant und sein Apriori von Raum und Zeit erwähnt. Kant argumentiert in seiner Kritik der reinen Vernunft, dass der Raum, der seiner Meinung nach genau ein Apriori unserer Wahrnehmung ist, der euklidische Raum ist. Das heißt, wir sehen einen unendlichen Raum, in dem die parallelen Raster parallel sind. Wir wissen jedoch auch, dass wir parallele Linien sehen und dass die parallelen Linien, nach den Regeln der Perspektive, die uns unsere Wahrnehmung diktiert,

0:27:03konvergieren, wenn wir sie betrachten. Wenn wir beispielsweise auf einer langen Allee oder einem langen Korridor stehen, werden die beiden parallelen Linien von uns so wahrgenommen, als würden sie auf einen Punkt zulaufen. Es hat lange gedauert, bis wir diese Illusion bewusst wahrgenommen haben. Erst in der italienischen Renaissance, kodifizierten Filippo Brunelleschi und Leon Battista Alberti die Regeln der Perspektive. Vor dieser Kodifizierung zeichnete und malte man, ohne die Regeln der Perspektive anzuwenden. Aber es gibt noch eine andere Weise, wie uns parallele Linien täuschen. Wenn wir uns in einem dunklen Raum befinden und einem Wahrnehmungsforscher zwei Lichter auf zwei parallele Linien wirft, also ohne perspektivische Bezüge, lässt uns unsere Wahrnehmung sie seltsamerweise als konvex erscheinen. Dies lässt uns erkennen,

0:28:20dass es sich beim a priori unserer Wahrnehmung wahrscheinlich nicht um euklidische Geometrie handelt, sondern um eine verzerrte Geometrie. In der Tat führte diese Erkenntnis zwischen 1800 und 1900 mehrere Mathematiker zur Formulierung der sogenannten hyperbolischen Geometrie. Mathematiker wie der Russe Nikolai Ivanovich Laboszewski, der Ungar Janos Bolliaj, der Deutsche Karl Friedrich Gauss und der Italiener Eugenio Beltrami waren ihre großen Protagonisten. Diese Mathematiker legten den Grundstein für die hyperbolische Geometrie, ein Gebiet, das einen bedeutenden Einfluss auf die Mathematik und die Physik hatte und sogar Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie beeinflusste. Nicht nur die Mathematik, sondern auch die Malerei hat einen wichtigen Beitrag zum Verständnis der Verzerrung durch unsere Sinneswahrnehmung geleistet. Ein bedeutendes Beispiel in dieser Hinsicht liefert uns Vincent van Gogh,

0:29:42der dies in seinem Briefwechsel mit seinem Bruder ausführlich zum Ausdruck bringt. In einem berühmten Gemälde »Das Zimmer in Arles« sagt er, dass er dieses Zimmer so gemalt hat, wie wir es sehen würden, wenn wir alle mentalen Konstruktionen, die wir uns selbst erschaffen haben, entfernen würden. Wenn wir uns in van Goghs Zimmer befinden, würden wir es also als ein Produkt unserer visuellen Wahrnehmung sehen, aber auch verzerrt durch unsere kulturelle Schichtung. Wenn wir das Gemälde betrachten, scheint es tatsächlich von jemandem gemalt worden zu sein, der unter dem Einfluss von psychotropen Substanzen stand. Das Bett scheint fast zu schweben, die Wände, die Stühle, das Fenster beschreiben einen Raum, der uns sehr fremd ist. Jetzt wird uns klar, dass es tatsächlich etwas mit der Art und Weise

0:30:56zu tun hat, wie wir die Welt wahrnehmen. Gerade Linien, die das Auge als konvex wahrnimmt, begradigen wir durch kulturelles Training, das aus der Konfrontation mit perspektivischen Darstellungen stammt. Nehmen wir ein paar erklärende Beispiele dazu. Nehmen wir zum Beispiel zwei vollkommene gleiche Segmente und platzieren sie rechtwinklig übereinander, erscheinen uns überhaupt nicht als gleich lang. Gleiches passiert, wenn Sie zwei gleich lange Pfeile nehmen und die Pfeilspitze außen oder nach innen anbringen. Die optische Täuschung, lässt uns die Pfeile als unterschiedlich lang wahrnehmen. Nehmt man schließlich zwei parallele Linien, zu denen man ein Bündel von Linien von einem zentralen Punkt aus über und unter ihnen hinzufügt, und dieselben Parallelen, zu denen man ein Bündel von Linien von einem zentralen Punkt aus

0:32:14zwischen ihnen hinzufügt, so sieht man die Parallelen einmal konkav und einmal konvex. All dies bedeutet, dass wir den Raum mit unseren Sinnen wahrnehmen, aber wir müssen vorsichtig sein, denn unsere Sinne täuschen uns. Wenn wir uns dieser Tatsache nicht bewusst sind, könnten wir uns einbilden, dass wir eine objektive Wahrnehmung des Raumes haben, während es sich in Wirklichkeit um eine subjektive Wahrnehmung handelt. Aber woher entnehmen wir, angesichts dessen, was wir gerade gesehen haben, unsere Geometrie? Wir haben gesehen, dass die Sinne uns täuschen und dass wir auf jeden Fall alleine dieselben durchlaufen können, um den Raum wahrzunehmen und folglich Geometrie zu betreiben. Wir sollten jedoch bedenken, dass es noch andere Sinne gibt, als unsere eigene, die wir nicht wahrnehmen.

0:33:29Welche Wahrnehmungssinne haben z.B. Tiere? Zunächst einmal ist es bereits der Mensch, welcher sich manchmal in Situationen der Sinneswahrnehmung wiederfindet, die nicht die üblichen, nicht die klassischen sind, an die er gewöhnt ist. Falls sich ein Mensch unter dem Einfluss von Psychodrogen befindet, wie z.B. Mescalin oder Ropiate, welche die geometrische Wahrnehmung verzerren werden, ihm die Dinge auf eine ganz andere Weise erscheinen lassen, als er sie normalerweise sehen würde. Es sei an dieser Stelle betont, dass wir nicht zufällig gesagt haben, auf eine ganz andere Weise, als wir sie normalerweise sehen. Denn jetzt sind wir bereits aufmerksam darauf und wissen nicht wirklich, wie die Dinge in Wirklichkeit sind. In Wirklichkeit wissen wir es überhaupt nicht. Die Essenz der Kant'schen Philosophie

0:34:40über die Geometrie sagt uns ja genau das. Die Dinge an sich, jene, welche Kant die Naumena nannte, sind so, wie sie sind. Aber wir werden es nie wissen. Alles, was wir tun können, ist diese Naumena durch die Phänomene wahrzunehmen. Sprich, wir können die Dinge an sich nur durch unsere Wahrnehmung feststellen. Versuchen wir uns nun vorzustellen, wie die Geometrie verschiedener Wesen aussehen würde. Konzentrieren wir uns für einen Moment auf das Sehen. Viele Tierarten haben eine andere Sichtweise als der Mensch. Nehmen wir z.B. Fliegen oder Spinnen. Die Augen haben, die aus vielen einzelnen optischen Einheiten, den sogenannten Ommatidia, bestehen. Jedes Ommatidium ist eine kleine optische Einheit, die einen Teil des Gesamtbildes erfasst. Zusammengesetzte Augen ermöglichen ein Mosaiksehen,

0:35:57das nützlich ist, um schnelle Bewegungen zu erkennen und ein sehr großes Sichtfeld zu haben. Das Gehirn dieser Insekten muss alle Bilder, die es von diesen Ommatidia erhält, neu zusammensetzen. Wie würde die Geometrie einer Fliege oder einer Spinne aussehen? Welche Geometrie hätten wir, wenn wir stattdessen wie Fledermäuse oder Delfine wären, welche einen Sonar benutzen, um den Raum wahrzunehmen? Wir beginnen zu verstehen, dass wir auch Geometrie studieren können, aber wir müssen sehr vorsichtig sein, denn das, was wir Geometrie nennen, ist eine der möglichen Wahrnehmungen des Raums seitens eines Wesens, das bestimmte Sinne hat. Sinne, die, wenn sie nicht täuschen, wenn sie nicht durch Drogen oder andere psychodysleptischen Effekte verzerrt sind, uns ein Bild von der Außenwelt vermitteln.

0:37:02Der Mensch besitzt, wie wir gesehen haben, eine eigene Sicht der Welt, aus der sich eine besondere Wahrnehmungsgeometrie ableitet, die auf hochauflösender Optik und stereophonischem Hören beruht. Die Wiege der Geometrie steht im alten Ägypten. In Ermangelung an anderen verfügbaren Informationen gilt Ägypten seit jeher als eben die Wiege der Geometrie. Es gibt viele Zeugnisse dafür und eines davon, das typisch mathematisch ist, ist der sogenannte Rind Papyrus, benannt nach dem schottischen Antiquar Alexander Henry Rind, der ihn 1858 auf den Markt in Luxor, der historischen Stadt in Niltal, kaufte. Der Rind Papyrus ist zu einer Art heiligem Text für die ägyptische Mathematik geworden. Was steht hinter diesem Papyrus? Er wurde von einem ägyptischen Schreiber namens Achmes geschrieben, der behauptete,

0:38:21ihn von einem alten Text abgeschrieben zu haben. Es sieht einfach wie eine Gebrauchsanweisung aus. Darin werden Probleme und deren Lösungen dargestellt. Der Papyrus enthält Aussagen, die eine Frage stellen, zum Beispiel Zitat Willst du eine bestimmte Sache berechnen? Zitat Ende. Und die Antwort lautet, Zitat Mach es auf diese Weise, so kommst du auf das Ergebnis. Zitat Ende. Sie klingen wie orakelhafte Rezitationen. Woher kommt diese Antwort? Woher wussten sie, dass dies tatsächlich der Fall war? Es wurde die Hypothese in den Raum gestellt, es gebe eine Verbindung zwischen den politischen Systemen des alten Ägyptens und des weniger alten Kirches. In Griechenland gab es die Demokratie und in einer Demokratie akzeptiert man keine von einer Autorität vorgegebene Lösung. Die Demokratie verlangt, dass die Menschen durch Argumente,

0:39:33sprich durch Beweise überzeugt werden.

0:39:40Ägypten hingegen war ein völlig autokratisches System. An der Spitze des Reiches stand der Pharao, der sich selbst als Interpret oder sogar als Sohn der Götter betrachtete. Was er sagte, war göttliches Wort. Es musste einfach geglaubt werden. Die ägyptische Mathematik spiegelt diese Haltung wider. Und wenn der Papyrus sagt, dass dies der Fall ist, muss man es glauben, ohne es zu hinterfragen. Dieser Papyrus ist in zwei Farben geschrieben. Die Postulate sind in roter Farbe geschrieben und die Lösung in schwarzer Farbe. Es gibt nichts darin, was der Intuition hilft, außer manchmal, aber eher selten, einige Figuren, die denen ähneln, die später in Euclids Buch zu finden sind. Einige Dreiecke oder geometrische Formen, aber nichts sehr Ausgefeiltes. Was aber finden wir im Papyrus?

0:41:00Zunächst einmal gibt es eine Einleitung, als ob es sich um ein modernes Buch handeln würde. Es gibt einen Titel, einen Autor und eine Präambel. Der Titel lautet, ich zitiere ihn, »Methoden zur Erforschung der Geheimnisse des Universums«. Die ägyptische Mathematik war eigentlich eine esoterische Mathematik. Ein Schlüssel zum Öffnen dieser Schatztruhe, die das Universum ist. Ein Versuch, seine Geheimnisse zu entschlüsseln. Dieser Papyrus ist etwa 4.000 Jahre alt und enthält eine lange Liste von Eigenschaften. Schauen wir uns einige davon an. Die einfachste Aufgabe aus der Sicht der Geometrie ist die Aufgabe oder das Problem 49, in der es darum geht, die Fläche eines Rechtecks zu berechnen, sprich die Basis mit der Höhe zu multiplizieren. Die Aufgabe 51 gibt an,

0:42:18wie der Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen ist, sprich Basis mal Höhe geteilt durch zwei. Die Ägypter begnügten sich mit diesen auswendig gelernten Formeln, und verwendeten sie entsprechend. Von der griechischen Antike bis heute sind die Menschen jedoch nicht damit zufrieden zu stellen und wollen verstehen, warum ein Rechteck die Basis mal die Höhe als Flächeninhalt hat und vor allem, warum ein Dreieck die Basis mal die Höhe geteilt durch zwei als Flächeninhalt hat. Warum sind diese Formeln wahr? Weil wir auf diese Weise effektiv den Flächeninhalt des Rechtecks und des Dreiecks erhalten. Im Falle des Rechtecks ist die Sache einfacher als im Falle des Dreiecks. Beginnen wir also mit dem Rechteck. Was bedeutet es, den Flächeninhalt zu berechnen? Es bedeutet, dass wir beide Seiten

0:43:34in Bezug auf eine Maßeinheit gemessen haben und wissen möchten, wie viele Flächeneinheiten sie im Inneren des Rechtecks haben. Eine Länge zu messen bedeutet, vorerst die Maßeinheit zu bestimmen, in unserem Fall der Meter. Wir könnten aber auch andere Einheiten, wie die Yarde, die Elle oder den Fuß nehmen. Und zu berechnen, wie viele Male dieser Meter in diese Länge passt. Was ist das Maß für die Fläche? Die naheliegendste Definition ist, dass wir ein Quadrat nehmen, das genau die gleiche Länge hat, wie das Maß seiner Seiten. Wenn ich also den Meter als Längeinheit habe, dann ist die Einheit für die Flächen ein Quadratmeter. Um die Fläche eines Rechtecks zu messen, muss man also berechnen, wie viele Quadrate an einem Meter

0:44:44in dem Rechteck Platz haben. Dann teilt man eine Seite und auch die andere in ebenso viele Maßeinheiten und zeichnet ein Gitter, der eine bestimmte Anzahl von Quadraten ergibt, die man dann zählt. Schon die Definition der Multiplikation sagt uns, dass wir, wenn wir eine Reihe von Quadraten haben und für eine bestimmte Anzahl von Malen andere Reihen gleicher Quadrate hinzufügen, als Zahl das Produkt der Quadrate erhalten.

0:45:22Die zweite Aufgabe der Flächeninhalte eines Dreiecks ist etwas komplizierter. Denn es geht um Basis mal Höhe geteilt durch 2. Während im Rechteck die Winkel immer gleich sind, ist dies im Dreieck nicht der Fall. Es gibt zum Beispiel das Gleichsatz, das gleichseitige Dreieck, das rechtwinklige Dreieck oder das gleichschenklige Dreieck. Wenn wir uns zum Beispiel auf das gleichschenklige Dreieck konzentrieren, können wir es tatsächlich in ein Rechteck legen und mit bloßem Auge sehen, dass ein gleichschenkliges Dreieck genau die Hälfte des Rechtecks einnimmt, weil die beiden Seiten das Rechteck in zwei Hälften teilen. In diesem Fall ist die Aussage, dass Basis mal Höhe geteilt durch 2 den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks ergibt, eine Trivialität, denn sie folgt unmittelbar der Formel für ein Rechteck.

0:46:38Aber wenn das Dreieck verschoben ist, woher wissen wir dann, dass diese Formel tatsächlich gültig ist? Wir müssen wissen, dass die einzigen Parameter, die wir für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks wichtig sind, Basis und Höhe sind. Ihre Form spielt keine Rolle. Alle Dreiecke, die dieselbe feste Basis und dieselbe Höhe haben, sprich bei denen der Scheitelpunkt auf einer zur Basis parallelen Linie liegt, immer denselben Flächeninhalt haben. Dies mag auf den ersten Blick seltsam erscheinen, denn es ist eine Sache, ein gleichschenkliges Dreieck zu haben, das harmonisch ist, und eine andere, ein sehr dünnes Dreieck zu haben, das sehr weit gezogen ist. Es ist wahrscheinlich nicht so einfach zu glauben, dass die Fläche immer gleich groß ist. Wir müssen verstehen,

0:47:42warum die Basis und die Höhe die einzigen beiden benötigten Größen sind. Um zu wissen, dass die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks Basis mal Höhe geteilt durch 2 für alle Dreiecke gültig ist, muss man von zwei grundlegenden Beobachtungen ausgehen. Die erste Feststellung ist, dass jede Art von Dreieck der Hälfte des entsprechenden Parallelogramms entspricht, wie man durch den Vergleich der Figuren leicht feststellen kann. Zweitens ist zu beachten, dass jedes Parallelogramm die gleiche Fläche hat wie ein Rechteck mit gleicher Grundfläche und Höhe. Man muss sich ein Parallelogramm als die Verzerrung eines Rechtecks vorstellen, dessen Seiten in die gleiche Richtung geschoben werden. Ein konkretes Beispiel ist die frontale Betrachtung eines Kartenspiels, bei dem die Karten nach rechts verschoben werden.

0:48:53Trotz der verschiedenen Verschiebung bleibt die betrachtete Fläche identisch, was die Analogie zwischen den beiden geometrischen Formen bestätigt.

0:49:06Aus diesen Beobachtungen geht hervor, dass die Berechnung des Flächeninhalts eines beliebigen Dreiecks auf die Berechnung des Flächeninhalts eines gleichschenklichen Dreiecks zurückgeführt werden kann. Diese einfachen Überlegungen liefern die logische Voraussetzung für die Formen des Flächeninhalts eines Dreiecks und zeigen, dass in jedem mathematischen Postulat eine klare und offensichtliche Argumentation zugrunde liegt. Selbst die banalsten Formen, die wir in den Grundschulen lernen, sind nicht so einfach. Die Ägypter gingen noch weiter. Sie gingen sogar bis dahin, dass man, dass man auf das, was man die feste Geometrie nennt. Neben dem Rheins Papyrus gibt es noch einen weiteren Papyrus, der mathematische Sätze enthält, den sogenannten Moskauer Papyrus, weil er in dieser Stadt aufbewahrt wird. Und zwar einen, der vielleicht als der höchste Punkt gilt,

0:50:28zu dem die ägyptische Mathematik gelangen konnte. Wir müssen einen kleinen Schild machen, damit Sie mit zurückgehen. Wenn wir alle, nämlich, wir kennen ja alle die ägyptischen Pyramiden, die viereinhalb tausend Jahre alt sind. Sie lassen uns erahnen, dass die Ägypter schon damals eine so fortgeschrittene Geometrie entwickelt hatten, dass sie eine Vorstellung davon hatten, was ein regelmäßiges Vieleck und was ein regelmäßiger Körper ist. Was bedeutet ein regelmäßiges Vieleck? Im Falle eines Dreiecks handelt es sich beispielsweise um eine Figur, die, wie ihre Definition besagt, drei Winkel und damit drei Seiten hat. Ein regelmäßiges Dreieck bedeutet also, dass die drei Winkel und die drei Seiten gleich groß sind. Es stellt sich spontan die Frage, wie viele Arten es von

0:51:40regelmäßigen Vielecken gibt. Egal, wie viele Seiten man wählt, es gibt immer ein regelmäßiges Vieleck mit dieser Anzahl von Seiten. Es gibt ein regelmäßiges Dreieck, das sogenannte gleichseitige Dreieck. Es gibt ein regelmäßiges Viereck, das genau genommen ein Quadrat mit 94 Gradwinkeln ist. Dann gibt es ein regelmäßiges Fünfeck und so weiter. In einem nächsten Schritt können wir zu einer dreidimensionalen Geometrie übergehen, nämlich zu jener unserer Welt. Unsere Welt hat zumindest scheinbar drei Dimensionen. Erinnern wir uns daran, dass wir vorhin über die drei Bogengänge des menschlichen Ohrs gesprochen haben, die physiologisch gesehen genau die drei Dimensionen darstellen, welche der Wahrnehmung unserer Kopfbewegungen entsprechen. Regelmäßige Körper, auch regelmäßige Polyeder genannt, sind Körper, deren Flächen regelmäßige Polygone sind. Was sind regelmäßige Polyeder?

0:53:05Der offensichtlichste von allen ist der Würfel mit sechs quadratischen Flächen. Die Ägypter zeigen uns, dass sie zwei weitere Regelungen für regelmäßige Körperkanten haben. Nämlich der Tetraeder und der Oktaeder. Was ist ein Tetraeder? Es ist eine Pyramide, aber um regelmäßig zu sein, müssen alle Flächen gleich sein. Daher muss die Basis auch gleich den Flächen sein. Wenn die Seitenflächen dreieckig sind, muss auch die Grundfläche dreieckig sein. Das Tetraeder wäre eine Pyramide mit nur drei Seiten, statt vier, wie wir sie kennen. Nimmt man jedoch zwei vierseitige Pyramiden und klebt sie an ihrer Grundfläche zusammen, so erhält man acht dreieckige Flächen.

0:54:12Wenn man eine Pyramide mit der richtigen Höhe wählt, dann ist das ein regelmäßiger Polyeder. Die Ägypter bauten sie nur in Hälften. Aber viele esoterische Texte sagen uns, dass sich unter jeder Pyramide eine weitere befindet, die auf der anderen Seite umgedreht ist und im Inneren eine Kugel steht.

0:54:40Im Grunde genommen stellen sich die Ägypter die Pyramiden als halbe Oktaeder vor, als halbe regelmäßige achtflächige Polyeder. Sie hatten bereits geahnt, dass regelmäßige Polyeder, gerade weil sie regelmäßig sind, in einen Kreis gestellt werden können, also in eine Sphäre eingeschrieben werden können. Diese ägyptischen Postulate lassen uns erkennen, dass die ägyptische Mathematik weit genug fortgeschritten war, um über die Begriffe Polygon und regelmäßiger Polyeder zu verfügen. Wie tief und reichhaltig die Beziehung zwischen mathematischen Brüchen und Geometrie ist, erfahren wir aus der Tatsache, dass beide Disziplinen auf verschiedene Weise ineinandergreifen, um Probleme zu lösen und die Welt zu beschreiben. Hier sind einige Beispiele dafür, wie Brüche und Geometrie miteinander verbunden sind. Beginnen wir mit Divisionen und den daraus resultierenden Brüchen

0:55:52geometrischer Figuren. Brüche sind grundlegend für die Unterteilung geometrischer Figuren. Um beispielsweise ein Segment in gleiche Teile zu unterteilen, werden Brüche verwendet. Um eine Fläche in gleiche Teile zu unterteilen, werden Brüche verwendet. Brüche sind wichtig, um Verhältnisse und Proportionen auszudrücken, die Schlüsselkonzepte in der Geometrie sind. Die Fläche regelmäßiger Polygone kann in kongruente Dreiecke unterteilt werden und die Gesamtfläche kann durch alle drei Dreiecke, durch die Addition der Flächen der einzelnen Dreiecke berechnet werden. Oft ist die Fläche eines jeden Dreiecks ein Bruchteil der Gesamtfläche. Brüche werden verwendet, um maßstabsgetreue Modelle geometrischer Figuren zu erstellen, aber auch um Steigungen zu berechnen. So ist die Steigung einer durch zwei Punkte verlaufenden Geraden das Verhältnis zwischen der Differenz der Ordinaten und der Differenz der Abszissen

0:57:08als Bruch ausgedrückt und so weiter. Die Ägypter verwendeten Brüche, um alltägliche Probleme zu lösen. Die Idee, ein Ganzes zu teilen, war dieser Zivilisation in der Tat vertraut und sie hatte ein präzises Symbol erfunden, um dies anzuzeigen. Ein längliches Oval, das über der Zahl angebracht wurde und ihr die Bedeutung, eines Bruchs gab. Auf diese Weise wurde aus drei ein Drittel, aus vier ein Viertel und so weiter. Ihre Mathematik war jedoch noch nicht so weit entwickelt, dass sie den allgemeinen Begriff des Bruches kannten, sprich die Beziehung zwischen einer Einheitsmenge, einem Ganzen und den Teilen, in die es geteilt wird. Die Ägypter gingen nicht über Einheitsbrüche hinaus und dies erklärt das Fehlen von Hieroglyphen oder grafischen Zeichen zur Angabe eines anderen Zählers als 1.

0:58:20Jedes andere Verhältnis musste als Summe von Einheitsbrüchen geschrieben werden. Auf diese Weise wurden zwei Fünftel zu einem Drittel plus einem Fünfzehntel. Zwei Siebtel wurden zu einem Viertel plus einem Achtundzwanzigstel und so weiter.

0:58:44Eine der offensichtlichsten Fragen, die sich die ägyptischen Architekten stellen mussten, war, wie viele Steine sie brauchen würden, um eine Pyramide zu bauen, wie sie der Pharao haben wollte. Wir wissen natürlich, dass die Anzahl der Steine mit dem Volumen zusammenhängt. Wie berechnet man also, dass in einer Pyramide oder noch schlimmer, das Volumen eines Pyramidenstammes wenn man bedenkt, dass Pyramiden in Schichten gebaut wurden und man daher berechnen musste, wie viele Steine am Ende fehlten? Die Antwort der Ägypter ist im Moskauer Papyrus enthalten. Nehmen wir an, dass es ausreicht, die Formel für den Bau einer Pyramide zu kennen, um die gesamte Pyramide abzüglich des fehlenden Teils zu berechnen, um die Formel für den Pyramidenstamm zu erhalten. Doch wie lautet die Formel

0:59:54für das Volumen der Pyramide? Es handelt sich um eine nicht-triviale Formel. Während man im Falle des Dreiecks die Länge der Basis mal Höhe geteilt durch 2 berechnet, muss man für die Pyramide die Grundfläche mal Höhe geteilt durch 3 berechnen. Wie sind die Ägypter auf die Idee, auf den Beweis für diese Formel, gekommen? Wir wissen es nicht. Denn, wie gesagt, die Papyri erwähnen das Problem und postulieren eine Lösung. Aber nichts anderes. Wir können uns vorstellen, dass sie eine ähnliche Methode anwandten wie die, die wir vorhin erwähnten, als wir sagten, man müsse die Teile, z.B. ein Parallelogramm oder ein Dreieck teilen und dann wieder zusammensetzen. Das Einzige, was wir bei der Berechnung des Volumens der Pyramide verstehen müssen,

1:01:02ist, warum wir durch 3 teilen.

1:01:08Es ist wahrscheinlich, dass die Ägypter ein System verwendeten, von dem wir sicher sind, dass es im alten Griechenland übernommen oder angewendet wurde. Nämlich den Umstand, dass ein Würfel in drei Pyramiden geteilt werden kann. Das Volumen einer Pyramide ist also ein Drittel des Volumens eines Würfels.

1:01:35Nun gehen wir über zur indischen Geometrie. Die Geometrie in Indien hat eine lange und faszinierende Geschichte, die bis ins Altertum zurückreicht. Die alte indische Zivilisation entwickelte ein breites Spektrum an geometrischem Wissen, das oft mit praktischen, rituellen und astronomischen Bedürfnissen zusammenhielt. Bereits in der vedischen Periode ab 1500 vor Christus, wie wir bereits gesehen haben, finden wir die sogenannten Sulbasutras, was soviel heißt mit dem Seil messen. Die Sulbasutras sind alte Texte, die Teil der Veden, insbesondere der Kalpasutras sind und Regeln für den Bau von Opferaltären enthalten. Sie enthalten zahlreiche geometrische Konstruktionen, darunter die Verwendungsweise von wie gesagt Schnüren oder Seile zum Zeichnen geometrischer Figuren wie Rechtecke, Quadrate und Kreise. In den Sulbasutras wird auch der erste Satz

1:03:03des Pythagoras beschrieben, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkelnden Dreiecks aufzeigt. In der klassischen Periode waren es die großen Protagonisten der Mathematik, über die wir bei unserem letzten Treffen gesprochen haben, wie zum Beispiel die Arbeiten von Aryabhata, welche die Geometrie zur Lösung astronomischer Probleme nutzte und Formeln zur Berechnung der Fläche und Umfänge von Kreisen vorlegte oder Brahmagupta, der in seinen Abhandlungen fortgeschrittene geometrische Formeln entwickelte, darunter solche zur Berechnung der Fläche von Kreisen, Vierecken und Polygonen. Die Geometrie war eng mit der Astronomie verbunden. Die indischen Mathematiker entwickelten geometrische Methoden zur Berechnung der Positionen von Himmelskörpern und zur Konstruktion von astronomischen Instrumenten. Der besondere spekulative Charakter der indischen Kultur führte dazu, dass geometrische Figuren seit frühester Zeit

1:04:19als Verbindung zur Gottheit angesehen und daher für rituelle Zwecke verwendet wurden. Einige seltsame und interessierte Symbole, die zur indischen heiligen Ikonographie gehören, zeugen davon. An erster Stelle steht das Sri Yantra. Das Sri Yantra ist ein altes indisches geometrisches und astronomisches Instrument, das in verschiedenen Sanskrit-Texten erwähnt wird. Der Begriff Sri Yantra setzt sich aus Shri, sprich Bescheidenheit oder Heiligkeit, und Yantra, sprich Instrument oder Gerät, was auf seine kulturelle und spirituelle Bedeutung hinweist. Das Sri Yantra wird auch das große Objekt genannt und hat eine lange und geheimnisvolle Geschichte. Dieses Objekt bezieht sich auf die tantrische Vereinigung des Gottes Shiva, der männlichen Kraft, die durch vier nach oben gerichteten Dreiecken symbolisiert wird und die Göttin Shakti, die weibliche Fruchtbarkeit,

1:05:38die durch fünf nach unten gerichteten Dreiecken symbolisiert wird. Der Schnittpunkt der neun Hauptdreiecke in der Figur ergibt weitere 43 Dreiecke, welche die Wohnstätten der Götter darstellen. Der meditative Pfad führt durch diese 43 Dreiecke und erreicht den Punkt, an dem sich die Dreiecke durchdringen, als Bindu. Die Konstruktion des Sri Yantra muss präzisen und komplexen geometrischen Regeln folgen. Zum Beispiel müssen die beiden äußeren Hauptdreiecke Grundwinkel von etwa 51,5 Grad haben. Das Sri Yantra ist das Ergebnis eines Wachstumsprozesses aus einer reinen Form, der für die Geometrie von großem Interesse ist. Die Figur, die sich aus der Schnittmenge der beiden Hauptdreiecke ergibt, ist ein regelmäßiges Sechseck, an dessen Seiten sich jeweils ein gleichseitiges Dreieck befindet. Es ist das einfachste Beispiel

1:06:58für ein sternförmiges Vieleck und hat für die Hindus die Bedeutung der kosmischen Sexualität, sprich der Erschaffung der Welt. Diese suggestive Symbolik zeugt von der engen Beziehung zwischen Zahlen und Religion in der hinduistischen Kultur. Eine Beziehung, die die Entwicklung der Mathematik in Indien nicht behindert hat, einem Land, das, wie wir bei unserem letzten Treffen gesehen haben, seit Jahrhunderten eine Vorreiterrolle in dieser Disziplin einnimmt. Die Hauptanwendung der Mathematik für religiöse Zwecke hat in Indien mit den Altären zu tun. Indische Altäre wurden nach den vedischen Prinzipien in Form eines Vogels, meist eines Falkens, mit Flügeln gebaut, was sehr komplex war. Die Regeln des oben erwähnten Sulba Sutra besagen, dass das Volumen dieser Altäre jedes Jahr um einen bestimmten Anteil zunehmen muss.

1:08:09Die Ziegel müssen so hinzugefügt werden, dass das Volumen in einem bestimmten Verhältnis wächst, bis es sich nach einer bestimmten Anzahl von Jahren verdoppelt und viel größer ist als zuvor. Das ist leicht gesagt, aber gar nicht so einfach zu machen. Wie vergrößert man ein Altar um ein festes Verhältnis, bis es sich verdoppelt hat? Im Abendland gibt es mindestens zwei Mythen, die uns auf diese Frage zurückführen. Der eine Mythos handelt von König Minos, der in seinem Palast in Knossos neben dem berühmten Labyrinth, wo Ariadne mit ihrem Faden spielte mit Theseus, ein würfelförmiges Grabmal für seinen toten Sohn richten ließ. Als Minos es später sah, erschien es ihm zu klein und er verlangte, dass sein Volumen verdoppelt werden sollte.

1:09:25Ein anderer Mythos, der mit diesem Problem zusammenhängt, steht im Zusammenhang mit einer Pestepidemie im alten Athen. Die Athener Bürger schickten eine Delegation auf eine Pilgerfahrt nach Delos, wo sich der Tempel des Apollon befand. Sie fragten das Orakel des Apollon, was getan werden könne, um den Gott zu überzeugen, die Epidemie zu stoppen. Und das Orakel sagte, Zitat, Ihr müsst das Volumen des Altars von Delos verdoppeln. Zitat Ende. Es war ein kubischer Altar. Die Bürger stimmten zu und verdoppelten die Seiten dieses Altars. Aber die Seuche hörte nicht auf. Die Athener Bürger kehrten nach Delos zurück und das Orakel sagte ihnen, dass der Gott sie um eine Sache gebeten hatte und sie eine andere getan hätten. Tatsächlich verdoppelten die Athener

1:10:38durch die Verdoppelung der Seiten auch die Grundfläche, so dass sich die Grundfläche vervierfachte und sich das Volumen des Altars um das Achtfache vergrößerte, also nicht verdoppelte. Platon kommentierte diesen Mythos, indem er sagte, dass der Zweck des Mythos selbst darin bestand, den Athenern klar zu machen, dass sie keine Ahnung von Mathematik hatten. Wie kann man also das Volumen eines Würfels verdoppeln? Beginnen wir mit einem einfacheren Problem. Wenn wir die Fläche eines Quadrats verdoppeln wollen, können wir nicht einfach seine Seiten verdoppeln. Wenn unser Quadrat eine Seitenlänge von zwei Metern hat und wir die Seitenlänge auf vier Meter verdoppeln, erhalten wir nicht ein Quadrat von vier Quadratmetern, sondern von 16 Quadratmetern. Die einzige Möglichkeit, es zu verdoppeln, ist über

1:11:44die Diagonale. Nimmt man das resultierende Dreieck aus dem Schnitt der Diagonalen und multipliziert es mit vier, erhält man ein Quadrat mit doppelter Fläche. Die Diagonale des Quadrats ist das Instrument der Verdoppelung des Quadrats selbst. Man könnte meinen, dass man herausgefunden hat, wie man den Würfel verdoppelt, nämlich indem man seine Diagonale nimmt. Leider funktioniert das nicht so. Denn der Grund, warum die Diagonale des Würfels gleich der Wurzel aus drei ist und das Quadrat aus der Wurzel aus drei gleich drei ist, ist nicht das, wonach wir gesucht haben. Die Griechen waren verzweifelt, weil sie das Problem nicht lösen konnten. Das Problem der Verdoppelung des Würfels ist bekanntlich eines der drei klassischen Probleme der griechischen Antike, zusammen mit der Quadratur des Kreises

1:12:50und der Breiteilung des Winkels. Die antiken griechischen Mathematiker entdeckten, dass es nicht möglich war, dieses Problem nur mit Lineal und Zirkel, den traditionellen geometrischen Werkzeugen jener Zeit zu lösen. Die Lösung erforderte fortgeschrittenere algebraische oder geometrische Methoden. Zum Beispiel mit Hilfe der hyperbolischen Kurve und anderer Techniken der algebraischen Geometrie. Das Problem der Verdoppelung des Würfels ist ein faszinierendes Beispiel dafür, wie die Beschränkungen der klassischen geometrischen Werkzeuge zur Entwicklung neuer Zweige der Mathematik führten. Und erst im 17. Jahrhundert wurde die Lösung des Problems durch das Verhältnis und die Notation der kubischen Wurzel gefunden, die sich erst mit der fortgeschrittenen algebraischen Mathematik dank der Arbeit von Mathematikern wie François Viette und René Descartes voll entwickelte. Wie bei der vorangegangenen Begegnung

1:14:05über die Geschichte der Mathematik haben wir einen langen Weg zurückgelegt, der mit den physiologischen Ursprüngen des Raums begann und dann zur Problemlösung überging. Am Anfang standen relativ einfache Probleme wie die Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks oder eines Dreiecks, dann immer komplexere Probleme wie die Berechnung des Volumens einer Pyramide, bis wir zum Problem der Verdoppelung des Flächeninhalts eines Quadrats oder der Verdoppelung des Volumens eines Würfels kamen. Die Geometrie ist, wie wir gesehen haben, eine grundlegende mathematische Disziplin, die sich mit den Eigenschaften und Abmessungen von Figuren im Raum beschäftigt. Heute hat die Geometrie eine Vielzahl praktischer und theoretischer Anwendungen in vielen Bereichen. Man denke nur an das Ingenieurwesen und die Architektur, wo sie für den Entwurf und die Konstruktion

1:15:12von Gebäuden, Brücken und anderen Bauwerken unerlässlich ist. Ingenieure und Architekten nutzen die Geometrie, um Winkel, Flächen und Volumen zu berechnen und um sicherzustellen, dass die Strukturen stabil und sicher sind. Dasselbe gilt für die Erstellung präziser technischer Zeichnungen, die für die Herstellung und den Zusammenbau mechanischer Bauteile unerlässlich sind. In der Physik wird die Geometrie verwendet, um die Form von Planetenbahnen, der Bahnen von Teilchen und die Eigenschaften von Wellen und elektromagnetischen Feldern zu beschreiben. In der Chemie untersucht die Molekulargeometrie die Form von Molekülen und wie diese die chemischen und physikalischen Eigenschaften von Stoffen beeinflusst. Aber auch für die Computergrafik, einschließlich Videospiele, Simulationen und Animationen, ist diese Disziplin von grundlegender Bedeutung. Geometrische Algorithmen werden verwendet, um dreidimensionale Bilder zu erstellen

1:16:27und zu manipulieren. Ohne sie wäre es unmöglich, genaue Karten der Erdoberfläche zu erstellen. Auch Roboter nutzen die Geometrie, um Wege zu planen, Hindernisse auszuweichen und sich in komplexen Umgebungen zurechtzufinden. Ohne diese Disziplin wären bildgebende Diagnostik in der Medizin wie die Computertomographie und die Magnetresonanztomographie nicht möglich, ebenso wie die Roboterchirurgie, wo sie zur millimetergenauen Führung chirurgischer Instrumente eingesetzt wird. Die Liste ist beliebig erweiterbar. Am Ende dieser Begegnung können wir also verstehen, warum die Geometrie weiterhin eine zentrale Disziplin in Wissenschaft, Technik, Ingenieurwesen und Kunst ist. Ihre Fähigkeit, die Formen und Strukturen der Welt um uns herum zu beschreiben und zu analysieren, macht sie in vielen Bereichen des modernen Lebens unverzichtbar. Die Geometrie hilft uns nicht nur, die Welt zu verstehen,

1:17:43sondern auch bei der Innovation und der Entwicklung neuer Technologien und Lösungen. Das war die Geschichte Indiens Teil 6 Präsentiert von der Bar Rouge und der Akademie der Vernunft Wenn du uns unterstützen möchtest, abonniere den Kanal und hinterlasse uns einen Kommentar. Auch wenn du Fragen oder Anmerkungen zum Inhalt hast, kannst du dies im Kommentar hinterlassen. Wir versuchen, alle Anfragen zu beantworten. Bis zum nächsten Mal auf diesem Kanal.

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